数学：给你长度1~n的线段 组成三角形最长边长度不超过你的n三角形有多少个

Triangle Counting

时间限制：1000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：3

描述

You are given n rods of length 1, 2…, n. You have to pick any 3 of them and build a triangle. How many distinct triangles can you make? Note that, two triangles will be considered different if they have at least 1 pair of
arms with different length.

输入

The input for each case will have only a single positive integer n(1<=n<=1000000). The end of input will be indicated by a case with n<1. This case should not be processed.

输出

For each test case, print the number of distinct triangles you can make.

样例输入

5
8
0

样例输出

3
22

来源

UVA

上传者

TC_李远航

思路：

常规思路是模拟

但是时间复杂度将会是（o^3）明显超时

所以我们猜一定是有规律的，从数学角度开始分析

设三角形最长边为x，（其他y，z） 最多有c（x）个三角形

那么y+z>x

x-y<z<x

所以当y=1是误解0 y=2 一个解 y=3 三个解.....

0+1+2+3+....+（x-2）

总共：（x-2）*（x-1）/2

但是这里计算了y=z的情况而且每个三角形算了两次

（y=z的情况） y=x/2+1开始 （x-1）-（x/2+1）+1=x/2-1 不难发现x为奇数情况是x/2 偶数情况是x/2-1 so→（技巧）（x-1）/2避免奇偶讨论

于是 c（x）=(（x-1）(x-2)/2-(x-1)/2)/2

题目问题的是最长边长不超过n的三角形有多少个 so F(n)=F(n-1)+c(n);

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long a[1000005];
int main()
{
    int n;
    a[1]=a[2]=a[3]=0;
    for(long long i=4;i<1000005;i++)
        a[i]=a[i-1]+((i-1)*(i-2)/2-(i-1)/2)/2;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        if(n<=0)
            break;
        printf("%lld\n",a[n]);
    }
}