二分图中及匹配的基本概念与定理

定义:设G是一个图。如果存在VG的一个划分X，Y，使得G的任何一条边的一个端点在X中，另一个端点在Y中，则称G为二分图，记作G＝(X，Y，E)。如果G中X的每个顶点都与Y的每个顶点相邻，则称G为完全二分图

二分图的匹配:给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是       一个匹配。

最小顶点覆盖：在二分图中寻找一个尽量小的点集，使图中每一条边至少有一个点在该点集中。

最小顶点覆盖 == 最大匹配。

　　反证法证明：假设当前存在一条两个端点都不在最小顶点覆盖点集中，那么这么光芒四射的边定可以增大最大匹配边集，与最大匹配矛盾，所以得证。

最小路径覆盖：在二分图中寻找一个尽量小的边集，使图中每一个点都是该边集中某条边的端点。

最小路径覆盖 == 顶点数 - 最大匹配。

　　证明：因为一条边最多可以包含两个顶点，所以我们选边的时候让这样的边尽量多，也就是说最大匹配的边集数目咯。剩下的点就只能一个边连上一个点到集合里啦。

最大独立集：在N个点中选出来一个最大点集，使这个点集中的任意两点之间都没有边。

最大独立集 == 顶点数 - 最大匹配。

　　证明：因为去掉最大匹配两端的顶点去掉以后，剩下的点肯定是独立集。我们再从每个匹配里面挑选出来一个点加入到独立集中，也是不会破坏原有独立集的独立性的。

增广路径的性质:

(1)有奇数条边。

(2)起点在二分图的左半边，终点在右半边。

(3)路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。）

(4)整条路径上没有重复的点。

(5)起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。