矩阵的秩及子空间

在知乎上看到这个讲解,感觉很深刻. 首先,讲到矩阵的秩,几乎必然要引入矩阵的SVD分解:X=USV',U,V正交阵,S是对角阵.如果是完全SVD分解的话,那S对角线上非零元的个数就是这个矩阵的秩了(这些对角线元素叫做奇异值),还有些零元,这些零元对秩没有贡献. 有了这个前提,我们就可以用各种姿势来看秩了: 1.把矩阵当做样本集合,每一行(或每一列,这个无所谓)是一个样本,那么矩阵的秩就是这些样本所张成的线性子空间维数.如果矩阵秩远小于样本维数(即矩阵列数),那么这些样本相当于只生活在外围空间中的

矩阵的四个基本子空间 1.零空间 矩阵A的零空间就Ax=0的解的集合.假设矩阵的秩为r,矩阵为m*n的矩阵,则零空间的维数为n-r.因为秩为r,则自由变量的个数为n-r,有几个自由变量,零空间就可以表示层几个特解的线性组合,也即是零空间的维数为自由变量的个数. 2.列空间 矩阵A的列空间就是矩阵A中各列的线性组合.假设矩阵的秩为r,矩阵为m*n的矩阵,则列空间可以表示为r个主元的线性组合,即零空间的维数为r. 3.行空间 在线性代数中,我们一般习惯将矩阵看出是一组列向量的组合,matlab中矩阵

本文是Gilbert Strang的线性代数导论课程笔记.课程地址:http://v.163.com/special/opencourse/daishu.html 第十五课时:子空间投影 教授说要让这讲名垂青史,想必此讲是重中之重吧.讲投影.怎样投影,为什么要投影到其他子空间. 从一个简单例子看: 向量b到向量a的最短距离,b在a上的投影是p,a垂直于e,e就像误差e=b-p,p是a的某个倍数x,p=xa,它在a的一维子空间里,可得到一个方程,求解x,方程为:aT(b - xa) = 0.   

一.定义 矩阵$A$为$m$行$n$列 1)列空间$C(A)$,一个$R^m$的子空间,由所有列的线性组合构成,维数为 $r$ 列空间可以表示为$r$个主元的线性组合,即列空间的维数为$r$ 2)行空间$C(A^T)$,一个$R^n$的子空间,由所有行的线性组合构成,维数为 $r$ 转置后,矩阵的秩不变,所以此时行空间的维数为$r$ 3)零空间$N(A)$,一个$R^n$的子空间,由所有$Ax=0$的解的线性组合构成,维数为 $(n-r)$ 因为秩为$r$,则自由变量的个数为$n-r$,有几个自

在线性代数中一个非常重要的概念就是向量空间R^n,这一章节将主要讨论向量空间的一系列性质. 一个向量空间是一些向量元素构成的非空集合V,需要满足如下公理: 向量空间V的子空间H需要满足如下三个条件: 两个定理均在阐述如何构成子空间,其证明也只需要简单的证明构造出的子空间满足子空间H需要满足的三个条件即可.

Revenge of Nim II Problem DescriptionNim is a mathematical game of strategy in which two players take turns removing objects from distinct heaps. On each turn, a player must remove at least one object, and may remove any number of objects provided th

对任何一个矩阵,是行分块,列分块-----得到向量组 行秩:行向量组的秩 列秩:列向量组的秩 命题:矩阵的行秩,列秩在初等变换下不改变(对向量组实施初等变换后其得到的向量组与原向量组等价=等价的向量组具有相同的秩) 初等变换----初等行变换+初等列变换 等价的向量组具有相等的秩 引理:初等行变换保持矩阵的列向量的极大无关组的列指标: 矩阵的行秩=矩阵的列秩,统称为矩阵的秩 矩阵相抵标准型(通过初等变换)[I O] 矩阵左乘或者右乘非异矩阵后矩阵的秩不改变 矩阵A和B相抵的矩阵当且仅当rA=rB

(Grothendieck 定理)有限测度空间 $\left( {X,\mu } \right)$ 满足: 1.$E$ 是某个 ${L^p}$ 的闭子空间,其中$1 \leqslant p < \infty $; 2.$E \subset {L^\infty }$ 则 $E$ 是有限维的.   分析:由于 E 中的函数本质有界,而 X 有限测度,所以 E 其实含于每个 Lp (p>1)\[{\left\| f \right\|_{{L^p}}} \leqslant {\left\| f \ri

主要内容: SP的算法流程 SP的MATLAB实现 一维信号的实验与结果 测量数M与重构成功概率关系的实验与结果 SP与CoSaMP的性能比较 一.SP的算法流程 压缩采样匹配追踪(CoSaMP)与子空间追踪(SP)几乎完全一样,因此算法流程也基本一致. SP与CoSaMP主要区别在于"Ineach iteration, in the SP algorithm, only K new candidates are added, while theCoSAMP algorithm adds 2K