前几天bestcode做到一道字符串的题目，需要O（n）的回文，正好看到网上的manacher算法，于是来学习一发
进入正题：
manacher算法
用法：一般用于求一个字符串的最大回文，操作过程中会记录以每个点为中心的回文半径，可用来进行其他操作
时间复杂度：O（n）
空间复杂度：记录字符串2*n，半径数组2*n
内容：
记p[i]为以i为中心的回文半径（aba中以b为中心的回文半径为2，那么如果是偶数个数的回文呢，比如abba？这里先讨论奇数，偶数后面再说，简单说就是用字符填充变成奇数）
因此以下的部分讨论的都是奇数个数的回文>>>>>>>>>>>>>>
那么无可避免先要for一遍，for(j=0;j<n;i++) 来求每个p[j]，下面就是对p[j](令j=i+k)的求解
分析：假设已经求出了i+k前面的0~i+k-1的p，现在要求p[i+k]，
那么首先根据前面的点求半径的时候有没有遍历到了i+k这个点可分为两大类：
一、 前面的点求半径的时候还没有遍历到了i+k这个点，即p[i]+i<i+k
（设i为前i+k个点中半径时遍历到最靠近字符串后面的点，不是回文最长！）
那么此时p[i+k]=1；
这时候说明此时的i+k还没找过半径，需要从头开始找while(s[i+k+p[i+k]]==s[i+k-p[i+k]]) p[i+k]++;
二、 前面的点求半径时已经遍历到了i+k这个点，即p[i]+i>=i+k
（设i为前i+k个点中半径时遍历到最靠近字符串后面的点，不是回文最长！）
这时候i+k前面有关于i对称的i-k，所以算i+k的回文半径时不需要从第一个开始找，那么是从p[i-k]个开始找吗？
答案是不一定的！
下面借用网上的图片来分析一下可能出现的两种情况:
<1>p[i]-k<p[i-k](此时p[i-k]>=p[i+k]),下面是结合图片的分析
首先解释一下图，图中的红线为i的回文半径，黑线为i求回文半径时遍历过的点，深蓝线是i-k的回文半径，那么此时i+k的回文半径一定是橙线，为什么呢？
首先橙线部分肯定是i+k的半径的一部分，由于对称性可以得到与左边i-k的橙线部分相同，
那么i+k的半径可能大于橙线部分吗？
假设i+k的回文半径大于橙线，如下图中橙线+紫线，那么由于对称性i-k也必定含有紫线部分，那么此时p[i]就不再是原来的p[i]了，而是如下图的黑线+紫线，这个与之前矛盾，所以不可能存在
即p[i+k]=p[i]-k;
<2>p[i]-k>=p[i-k](此时p[i-k]<=p[i+k]),下面是结合图片的分析
图中的红线为i的回文半径，黑线为i求回文半径时遍历过的点，深蓝线是i-k的回文半径，首先由于对称性i+k的回文半径一定包含蓝线部分，与此同时i+k的右边可能还有字符能组成更长的回文，最后形成图中的橙线部分，因此此时P[i+k]>=p[i-k],因此可以先赋值p[i+k]=p[i-k]，然后while(s[i+k+p[i+k]]==s[i+k-p[i+k]])
p[i+k]++;继续往后面找。
于是由上可以总结出p[j]的求法：
void query_p(int n) //n为字符串的长度
{
int id = 0; //id为上述i
p[0] = 1;
for(int j=1;j<n;j++) //j为上述i+k,所以k=j-id
{
if(p[id]+id<=j) p[j]=1; //第一种情况
else p[j]=min(p[2*id-j],p[id]-(j-id)); //第二种情况的两种小情况
while(s[j+p[j]]==s[j-p[j]]) p[j]++; //继续往后找
if(p[j]+j>p[id]+id) id=j; //更新最靠近字符串后面的点
}
}
<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<到这里为止都是把回文当做奇数个来算的，那么如果出现偶数个怎么办呢，具体做法是利用字符填充，字符可以用字符串中肯定不会出现的字符来填充，具体做法是：
假设字符串中只有字母，那么可以利用特殊符号填充，填充方法是在每个字符的前面插入一个一样的字符
比如填充字符时#时，原字符串是abba，填充后的字符变为#a#b#b#a#，然后就可以了，至于字母的原始回文半径就是现在的p[i]/2+1，填充字符不会影响结果。
不过这里需要注意的是：为了避免数组越界需要在填充后在字符再处理一下如上述*#a#b#b#a#‘\0‘,这样从第一个字母开始遍历的时候就不会出现问题了
这里贴一个填充后的求最长回文的代码：
int for_max(int n) //n为原字符串的长度
{
for(int j=n;j>=0;j--) //字符填充
{
s[j*2+2]=s[j];
s[j*2+1]='#';
}
s[0]='$'; //防止数组越界填充第一个字符和最后一个字符为‘$’和‘/0’
int id = 0; //id为上述i
int maxlen = 0;
p[0] = 1;
for(int j=2;j<2*n+2;j++) //j为上述i+k,所以k=j-id
{
if(p[id]+id<=j) p[j]=1; //第一种情况
else p[j]=min(p[2*id-j],p[id]-(j-id)); //第二种情况的两种小情况
while(s[j+p[j]]==s[j-p[j]]) p[j]++; //继续往后找
if(p[j]+j>p[id]+id) id=j; //更新最靠近字符串后面的点
maxlen=max(maxlen,p[j]-1); //更新最长回文
}
return maxlen;
}
具体题目可以看HDU3068：题意大概为给一个字符串，求最长回是多少
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3068
代码如下：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
#include<vector>
#pragma comment(linker,"/STACK:1024000000,1024000000")
using namespace std;
const int maxn = 2.2e5+5;
char s[maxn*2]; //2倍数组
int p[maxn*2];
int for_max(int n) //n为原字符串的长度
{
for(int j=n;j>=0;j--) //字符填充
{
s[j*2+2]=s[j];
s[j*2+1]='#';
}
s[0]='$'; //防止数组越界填充第一个字符和最后一个字符为‘$’和‘/0’
int id = 0; //id为上述i
int maxlen = 0;
p[0] = 1;
for(int j=2;j<2*n+2;j++) //j为上述i+k,所以k=j-id
{
if(p[id]+id<=j) p[j]=1; //第一种情况
else p[j]=min(p[2*id-j],p[id]-(j-id)); //第二种情况的两种小情况
while(s[j+p[j]]==s[j-p[j]]) p[j]++; //继续往后找
if(p[j]+j>p[id]+id) id=j; //更新最靠近字符串后面的点
maxlen=max(maxlen,p[j]-1); //更新最长回文
}
return maxlen;
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%s",s)!=EOF){
int m=strlen(s);
printf("%d\n",for_max(m));
}
}
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