1. 前言
概率模型有时既含有观测变量(observable variable)，又含有隐变量或潜在变量（latent variable），如果仅有观测变量，那么给定数据就能用极大似然估计或贝叶斯估计来估计model参数；但是当模型含有隐变量时，需要一种含有隐变量的概率模型参数估计的极大似然方法估计——EM算法
2. EM算法原理
EM算法称为期望极大值算法（expectation maximizition algorithm，EM），是一种启发式的迭代算法。
EM算法的思路是使用启发式的迭代方法，既然我们无法直接求出模型分布参数，那么我们可以先猜想隐含数据（EM算法的E步），接着基于观察数据和猜测的隐含数据一起来极大化对数似然，求解我们的模型参数（EM算法的M步)。
可以通过K-Means算法来简单理解EM算法的过程。
E步：
在初始化K个中心点后，我们对所有的样本归到K个类别。
M步：
在所有的样本归类后，重新求K个类别的中心点，相当于更新了均值。
3. EM算法公式
对于\(m\)个样本观察数据\(x=(x^{(1)},x^{(2)},...x^{(m)})\)中，找出样本的模型参数\(\theta\)，极大化模型分布的对数似然函数如下，假设数据中有隐含变量\(z=(z^{(1)},z^{(2)},...z^{(m)})\)
\[
L(\theta) = \sum\limits_{i=1}^m logP(x^{(i)}|\theta)
\]
加入隐含变量公式变为如下，注意到下式中\(Q_i(z(i))\)是一个分布，因此\(\sum Q_i(z(i))logP(x(i),z(i)|θ)\)可以理解为\(logP(x(i),z(i)|θ)\)基于条件概率分布\(Q_i(z(i))\)的期望。
\[
L(\theta) = \sum\limits_{i=1}^m log\sum\limits_{z^{(i)}}Q_i(z^{(i)})P(x^{(i)},z^{(i)}|\theta)\;\;\;s.t.\sum\limits_{z}Q_i(z^{(i)}) =1\;\;\;\;\;(1)
\]
根据Jensen不等式,(1)式变为(2)
\[
E [f \left ( g(X) \right ) ] \ge f \left (E[g(X)] \right )
\]
\[
L(\theta) = \sum\limits_{i=1}^m log\sum\limits_{z^{(i)}}Q_i(z^{(i)})P(x^{(i)},z^{(i)}|\theta)\ge\sum\limits_{i=1}^m \sum\limits_{z^{(i)}}Q_i(z^{(i)})logP(x^{(i)},z^{(i)}|\theta)\;\;\;s.t.\sum\limits_{z}Q_i(z^{(i)}) =1\;\;\;\;\;(2)
\]
4. EM算法流程
输入：观察数据\(x=(x^{(1)},x^{(2)},...x^{(m)})\)，联合分布\(p(x,z|\theta)\), 条件分布\(p(z|x,\theta)\), EM算法退出的阈值\(\gamma\)。
- 随机初始化模型参数\(\theta\)的初值\(\theta^0\)。
- E步：计算联合分布的条件概率期望
\[
\theta^{j+1} = arg \max \limits_{\theta}L(\theta, \theta^{j})
\]
\[
L(\theta, \theta^{j}) = \sum\limits_{i=1}^m\sum\limits_{z^{(i)}}Q_i(z^{(i)})log{P(x^{(i)},z^{(i)}|\theta)}
\]
- M步：极大化\(L(\theta,\theta^j)\),得到\(θ^{j+1}\):
\[
\theta^{j+1} = arg \max \limits_{\theta}L(\theta, \theta^{j})
\]
- 重复2，3两步，直到极大似然估计\(L(\theta,\theta^j)\)的变化小于\(\gamma\)
5. 总结
如果我们从算法思想的角度来思考EM算法，我们可以发现我们的算法里已知的是观察数据，未知的是隐含数据和模型参数，在E步，我们所做的事情是固定模型参数的值，优化隐含数据的分布，而在M步，我们所做的事情是固定隐含数据分布，优化模型参数的值。
本节介绍的EM算法是通用的EM算法框架，其实EM算法有很多实现方式，其中比较流行的一种实现方式是高斯混合模型（Gaussian Mixed Model）。
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