题目链接
https://www.luogu.org/problemnew/show/P4180
题目描述
小C最近学了很多最小生成树的算法，Prim算法、Kurskal算法、消圈算法等等。正当小C洋洋得意之时，小P又来泼小C冷水了。小P说，让小C求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说：如果最小生成树选择的边集是EM，严格次小生成树选择的边集是ES，那么需要满足：(value(e)表示边e的权值) \sum_{e \in E_M}value(e)<\sum_{e \in E_S}value(e)∑e∈EM??value(e)<∑e∈ES??value(e)
这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。
输出格式：
包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)
输入输出样例
输入样例#1：
5 6 1 2 1 1 3 2 2 4 3 3 5 4 3 4 3 4 5 6
输出样例#1：
11
说明
数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。
题目分析
所谓严格的次小是指权值严格大于最小生成树的次小生成树，我们知道一般次小生成树，只需要先用kruskal算法求得最小生成树，然后暴力枚举非树边，替换路径最大边即可。
这题也可以类似思考，但有一个问题，如果最大边与当前枚举边相等时，我们不能替换，于是求其次用次小边来替换。这样我们需要求得路径上的最小边和次小边(小于最小边)，于是我们可以利用LCA的倍增算法来维护。
预处理过程需要考虑i -> f[i][j]与f[i][j] -> f[f[i][j]][j]这两段的合并，考虑这两段的最大值相同与不同情况，相同则说明次大值是这两个的次大值的最大值，不同的话,假设(a,b),(c,d)表示两段的(最大,次大)，若a > c,显然次大为max(b, c), c > a的情况类似，见代码中的函数ck1。
预处理完，维护沿单链向上跳，记单链的(最大,次大)为(a, b),当前得到最优值(lx, ln),分三种情况讨论，lx与a的大小关系，见代码中的函数ck3。
参考代码
1 #include <cstdio>
2 #include <iostream>
3 #include <cstring>
4 #include <algorithm>
5
6 using namespace std;
7 //#define DEBUG(x) cerr << #x << "=" << x << endl
8 #define Maxn 300010
9
10 struct edge
11 {
12 int to;
13 int w;
14 int next;
15 }p[Maxn];
16
17 int head[Maxn / 3], tot;
18
19 void addedge(int a, int b, int c)
20 {
21 p[tot].to = b;
22 p[tot].w = c;
23 p[tot].next = head[a];
24 head[a] = tot++;
25 }
26
27 struct line
28 {
29 int u, v, w;
30 bool operator<(const line &a)const
31 {
32 return w < a.w;
33 }
34 }q[Maxn];
35
36 int vis[Maxn];
37 int fa[Maxn / 3];
38
39 int findset(int x)
40 {
41 return fa[x] == x ? x : (fa[x] = findset(fa[x]));
42 }
43
44 int unionset(int a, int b)
45 {
46 return fa[findset(a)] = findset(b);
47 }
48 int dep[Maxn / 3];
49 int f[Maxn / 3][20], g[Maxn / 3][20], h[Maxn / 3][20];
50
51 void dfs(int u, int fa)
52 {
53 f[u][0] = fa;
54 dep[u] = dep[fa] + 1;
55 for (int i = head[u]; i != -1; i = p[i].next)
56 {
57 int v = p[i].to;
58 if(v != fa)
59 {
60 g[v][0] = p[i].w;
61 h[v][0] = -1;
62 dfs(v, u);
63 }
64 }
65 }
66
67 void ck1(int &a, int &b, int c, int d, int e, int f)
68 {
69 if (c == e)
70 {
71 a = c;
72 b = max(d, f);
73 return;
74 }
75 if (c > e)
76 {
77 swap(c, e);
78 swap(d, f);
79 }
80 a = e;
81 b = max(c, f);
82 }
83
84 int ck2(int lx, int ln, int w)
85 {
86 if (w == lx) return w-ln;
87 return w-lx;
88 }
89
90 void ck3(int &lx, int &ln, int u, int t)
91 {
92 if (g[u][t] == lx)
93 ln = max(ln, h[u][t]);
94 else if(g[u][t] < lx)
95 ln = max(ln, g[u][t]);
96 else
97 {
98 ln = (lx, h[u][t]);
99 lx = g[u][t];
100 }
101 }
102 void init(int n)
103 {
104 dfs(1, 0);
105 for (int j = 0; j < 18; j++)
106 for (int i = 1; i <= n; i++)
107 {
108 if (!f[i][j]) f[i][j + 1] = 0;
109 else
110 {
111 f[i][j + 1] = f[f[i][j]][j];
112 ck1(g[i][j+1], h[i][j+1], g[i][j], h[i][j], g[f[i][j]][j], h[f[i][j]][j]);
113 }
114 }
115 }
116
117 int LCA(int u, int v, int w)
118 {
119 int lx = -1, ln = -1;
120 if (dep[u] < dep[v]) swap(u,v);
121 int df = dep[u] - dep[v], t = 0;
122 while(df)
123 {
124 if(df&1)
125 {
126 ck3(lx, ln, u, t);
127 u = f[u][t];
128 }
129 t++;
130 df>>=1;
131 }
132 if(u == v) return ck2(lx, ln, w);
133 for(int i = 18; i >= 0; i--)
134 {
135 if(f[u][i] != f[v][i])
136 {
137 ck3(lx, ln, u, i);
138 ck3(lx, ln, v, i);
139 u=f[u][i];
140 v=f[v][i];
141 }
142 }
143 ck3(lx, ln, u, 0);
144 ck3(lx, ln, v, 0);
145 return ck2(lx, ln, w);
146 }
147 int main()
148 {
149 freopen("tree.in", "r", stdin);
150 freopen("tree.out", "w", stdout);
151 int n, m;
152 scanf("%d%d", &n, &m);
153 for (int i = 0; i < m; i++)
154 scanf("%d%d%d", &q[i].u, &q[i].v, &q[i].w);
155 sort(q, q + m);
156 for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
157 memset(head, -1, sizeof(head));
158 memset(vis, 0, sizeof(vis));
159 tot = 0;
160 int cnt = 0;
161 long long ans = 0;
162 for (int i = 0; i < m; i++)
163 {
164 int u = q[i].u, v = q[i].v;
165 if (findset(u) == findset(v)) continue;
166 unionset(u, v);
167 vis[i] = 1;
168 addedge(u, v, q[i].w);
169 addedge(v, u, q[i].w);
170 ans += q[i].w;
171 if (++cnt==n-1) break;
172 }
173 init(n);
174 int z = 0x3f3f3f3f;
175 for (int i = 0; i < m; i++)
176 if (!vis[i])
177 z = min(z, LCA(q[i].u, q[i].v, q[i].w));
178 printf("%lld\n", ans + z);
179 return 0;
180 }
后记
本来想着在这篇博客的后面讲解一下倍增LCA和求最小生成树的两种方法
但是想了想，这样的话未免太乱了些
于是决定再开新博客来讲解
qwq
原文地址：https://www.cnblogs.com/aiyi2000/p/9832556.html