【PKUWC2018】猎人杀

题目描述

题目分析

设\(W=\sum\limits_{i=1}^nw_i\),\(A=\sum\limits_{i=1}^nw_i[i\ is\ alive]\),\(P_i\)为下一个打中\(i\)的概率。

如果开枪打中了已经死亡的猎人,我们可以视作再开一枪,这样就不会产生影响,因此有
\[
\begin{split}
P_i&=\frac{W-A}{W}P_i+\frac{w_i}W\移项得\ P_i&=\frac{w_i}{A}
\end{split}
\]

考虑容斥,枚举\(S\),强制\(|S|\)个人在\(1\)后被射杀,其他随意,

所以可以视作打中其他人与打中死亡的猎人等价,可以再开一枪,

因此,\(1\)号猎人在其他\(|S|\)个猎人前被射杀的概率为\(P_1\)
\[
\begin{split}
ans&=\sum_S(-1)^{|S|}P_1\&=\sum_{S}(-1)^{|S|}\frac{w_1}{w_1+sum\_w_S}\&=w_1\sum_{S}(-1)^{|S|}\frac{1}{w_1+sum\_w_S}
\end{split}
\]

考虑生成函数,后面的和式等价于
\[
\sum_{i=2}^n(1-x^{w_i})
\]

用分治+NTT求出,第\(i\)项的指数为\(sum\_w_S\),系数为满足这个\(sum\)的容斥系数和。

若生成函数为\(\sum\limits_{i=0}^\infty a_ix^i\),则
\[
ans=\sum_{i=0}^\infty a_i\cdot \frac{w_1}{w_1+i}
\]

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=400005,mod=998244353;
using namespace std;
inline int Getint(){register int x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int ksm(int x,int k){
    int ret=1;
    while(k){
        if(k&1)ret=(LL)ret*x%mod;
        x=(LL)x*x%mod,k>>=1;
    }
    return ret;
}
int rev[N];
void NTT(int *a,int x,int K){
    int n=(1<<x);
    for(int i=0;i<n;i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=1;i<n;i<<=1){
        int tmp=i<<1,wn=ksm(3,(mod-1)/tmp);
        if(K==-1)wn=ksm(wn,mod-2);
        for(int j=0;j<n;j+=tmp){
            int w=1;
            for(int k=0;k<i;k++,w=(LL)w*wn%mod){
                int x=a[j+k],y=(LL)w*a[i+j+k]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod;a[i+j+k]=(x-y+mod)%mod;
            }
        }
    }
    if(K==-1){
        int inv=ksm(n,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(LL)a[i]*inv%mod;
    }
}
int w[N],sum[N];
void Binary(int *a,int l,int r){
    if(l==r)return a[0]=1,a[w[l]]=mod-1,void();
    int mid=l+r>>1;
    int f[N],g[N];
    memset(f,0,(sum[r]-sum[l-1]+1)<<3),memset(g,0,(sum[r]-sum[l-1]+1)<<3);
    Binary(f,l,mid),Binary(g,mid+1,r);
    int x=ceil(log2(sum[r]-sum[l-1]+2));
    for(int i=0;i<(1<<x);i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<x-1);
    NTT(f,x,1),NTT(g,x,1);
    for(int i=0;i<(1<<x);i++)a[i]=(LL)f[i]*g[i]%mod;
    NTT(a,x,-1);
}
int a[N];
int main(){
    int n=Getint(),t=Getint();
    if(n==1)cout<<1,exit(0);n--;
    for(int i=1;i<=n;i++)w[i]=Getint(),sum[i]=sum[i-1]+w[i];
    Binary(a,1,n);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=sum[n];i++)
        ans=(ans+(LL)a[i]*t%mod*ksm(t+i,mod-2)%mod)%mod;
    cout<<ans;
    return 0;
}

原文地址:https://www.cnblogs.com/Emiya-wjk/p/10159819.html

时间: 2024-11-01 13:19:35

【PKUWC2018】猎人杀的相关文章

luoguP5644 [PKUWC2018]猎人杀 概率期望+生成函数+NTT

好神仙的概率题啊 我感觉第一步转化好难想,但是想出来第一步的转化方法的话后面用生成函数算背包就很简单了. code: #include <cmath> #include <cstring> #include <algorithm> #include <cstdio> #include <string> #define ll long long #define ull unsigned long long using namespace std;

Loj #2541「PKUWC2018」猎人杀

Loj #2541. 「PKUWC2018」猎人杀 题目链接 好巧妙的题! 游戏过程中,概率的分母一直在变化,所以就非常的不可做. 所以我们将问题转化一下:我们可以重复选择相同的猎人,只不过在一个猎人被选择了过后我们就给他打上标记,再次选择他的时候就无效.这样与原问题是等价的. 证明: 设\(sum=\sum_iw_i,kill=\sum_{i被杀死了}w_i\). 攻击到未被杀死的猎人\(i\)的概率为\(P\). 则根据题意\(P=\frac{w_i}{sum-kill}\). 问题转化后:

「PKUWC2018」猎人杀(分治NTT+概率期望)

Description 猎人杀是一款风靡一时的游戏"狼人杀"的民间版本,他的规则是这样的: 一开始有 \(n\) 个猎人,第 \(i\) 个猎人有仇恨度 \(w_i\) ,每个猎人只有一个固定的技能:死亡后必须开一枪,且被射中的人也会死亡. 然而向谁开枪也是有讲究的,假设当前还活着的猎人有 \([i_1,i_2,...,i_m]\),那么有 \(\frac{w_{i_k}}{\sum_{j=1}^nw_{i_j}}\) 的概率是向猎人 \(k\) 开枪. 一开始第一枪由你打响,目标的选

loj2541 「PKUWC2018」猎人杀

https://loj.ac/problem/2541 自己是有多菜啊,10天前做的题,当时还是看了题解,还让NicoDafaGood同学给我讲了一下. 而我现在忘得一干二净,一点都想不起来了…… 主要是当时听懂了就打了,没有总结啊. 我们发现,我们设集合$A$的$w$之和是$S_A$ 那么一个集合$A$在1之后死的概率是$\frac{w_1}{S_A+w_1}$. 为什么呢. 虽然每次选下一个会死的人,是从没死的人中选,但是实际上,也可以是所有人中选,如果选到了死了的人就继续选. 记得很久以前

「PKUWC2018」猎人杀(概率+容斥+分治NTT)

https://loj.ac/problem/2541 很有意思的一道题目. 直接去算这题话,因为分母会变,你会发现不管怎么样都要枚举顺序. 考虑把题目转换,变成分母不会变的,即对于一个已经删过的,我们不把它从分母中剔除,但是,每一次的选择需要一直选直到选了一个没有被删过的. 然后再考虑怎么计算,这时就可以容斥了: 1既然要最后删除,我们枚举一个集合S一定在它之后被删,其它的随意. 设\(sw\)为\(\sum_{i\in S}w[i]\),\(W=\sum_{i=1}^n w[i]\) 最后答

THUWC2018 猎人杀

https://loj.ac/problem/2541 看了题解 题目大意 略 题解 考虑一下:对于一个集合 \(S\),如何计算 \(S\) 中的人必须在 \(1\) 号之后被杀(不在集合内的也可能在 \(1\) 之后被杀)的概率 \(P(S)\). 令 \[ A = \sum_{i} w_i \B = \sum_{i \in S} w_i \] 那么 \[ P(S) = \sum_{i=0}^{\infty} {(\frac{A-B-w_1}{A})^i} \cdot \frac{w_1}{

YCB 的暑期计划

前言 YCB现在很弱(TAT) 暑假有一个月,赶快狂补一下. 大概的计划如下: 首先前期会以数据结构为主,毕竟代码能力太弱,涉及内容:线段树分治.二进制分组.KD-Tree. 等数据结构做到没有智商的时候加入一波数论,内容为 杜教筛.min_25筛. 然后中途小清新一下,做一些 组合博弈与构造题. 接着继续练代码能力,顺便学一些神奇的暴力:启发式合并.dsu on tree . 然后图论也忘的差不多了,就回过头去学点新东西,大概会有spfa判负环.0/1分数规划.差分约束. 估计这个时候也没有什

# 清北冬令营真题泛做

清北冬令营真题泛做 前言 这段时间为了准备冬令营把清北冬令营真题都做了一下.更个博回顾一下(免得你们老说我咕咕咕). 先写良心PKU的题再写THU的题, 主要是THU的题和PKU比起来真的毒瘤好多...... PKUWC2018 [PKUWC2018]Minimax 一个比较显然的暴力是归并排序,每次直接前后缀计算答案即可. 为啥不用线段树合并代替归并排序呢? 暴力线段树合并,合并的过程中顺便算一下即可,由于权值区间不交所以复杂度一个\(log\). [PKUWC2018]Slay the Sp

UNR #3 百鸽笼

题目大意:在UOJ管理员群里一共有\(N\)个管理员,为了容纳这些管理员,vfk准备了\(N+1\)个鸽笼. 为了节省空间,vfk把这些鸽笼堆了起来,共有\(n\)列,第i列放了\(a_i\)个鸽笼,满足 \(\sum a_i=N+1\). 每当UR结束,管理员们就会按照编号从小到大的顺序回到鸽笼里,每个管理员回来的时候,会先等概率的在所有还有剩余的鸽笼的列中随机一个列,然后住到这列剩下的鸽笼里编号最小的一个中. 现在\(N\)个管理员都回笼了之后,还有一列会空出一个鸽笼.你能对于每一列,求出这