函数的迭代

前言

典例剖析

例1【2018凤翔中学高三文科数学冲刺模拟第10套第8题】已知\(f(x)=\begin{cases}1，&x\in[0，1]\\x-3，&x\notin[0，1]\end{cases}\)，则使得\(f(f(x))=1\)成立的\(x\)的取值范围是【】

$A.[0，1]$ $B.[0，1]\cup\{7\}$ $C.[0，1]\cup [3，4]$ $D.[0，1]\cup[3，4]\cup\{7\}$

分析：本题目属于求解分段函数方程，可以将\(f(x)\)这个整体视为已知中的\(x\)，则原分段函数方程等价于

第一种情形，\(0\leq f(x)\leq 1\)且\(f(x)=1\)；或第二种情形，\(f(x)-3=1\)且\(f(x)\notin[0，1]\)，

其中第一种可化简为\(0\leq f(x)\leq 1\)，再等价转化为\(\begin{cases}x\in[0，1]\\f(x)=1\end{cases}\)或\(\begin{cases}x\notin[0，1]\\0\leq x-3\leq 1\end{cases}\)

解得\(0\leq x\leq 1\)或\(3\leq x\leq 4\)；

第二种可化简为\(f(x)=4\)，再等价转化为\(\begin{cases}x\in[0，1]\\1=4\end{cases}\)或\(\begin{cases}x\notin[0，1]\\x-3=4\end{cases}\)，解得\(x=7\)；

综上所述，\(x\)的取值范围是\([0，1]\cup[3，4]\cup\{7\}\)，故选\(D\)。

例1已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x<0\)时，\(f(x)=(x+1)e^x\)，则对任意的\(m\in R\)，函数\(F(x)=\) \(f[f(x)]-m\)的零点至多有【】个。

$A.3$ $B.4$ $C.6$ $D.9$

【法1】：利用复合函数的图像解决问题；首先利用函数的奇偶性求出函数\(f(x)\)的解析式；

题目给定了\(x<0\)时的解析式，则当\(x>0\)时，\(-x<0\)，则\(f(-x)=(-x+1)e^{-x}\)，

又函数\(f(x)\)为奇函数，则\(f(x)=-f(-x)=-(-x+1)e^{-x}=(x-1)e^{-x}\)，又\(f(0)=0\)，

故函数的解析式为\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{(x+1)e^x，x<0}\\{0，x=0}\\{(x-1)e^{-x}，x>0}\end{array}\right.\)

接下来利用导数先研究\(x<0\)时的单调性，\(f(x)=(x+1)e^x\)，则\(f'(x)=(x+2)e^x\)，

则\(x\in (-\infty，-2)\)时，函数\(f(x)\)单调递减，\(x\in (2，0)\)时，函数\(f(x)\)单调递增，又\(f(0)=1\)，

故结合单调性和奇偶性，做出\(R\)上的函数示意图如下：

接下来分析复合函数\(h(x)=f[f(x)]\)的图像。

当\(x=0\)时，\(f(0)=0\)时，\(f(f(0))=0\)；

当\(x\in (0，1)\)时，内函数\(f(x)\)单调递增，且\(f(x)\in (-1，0)\)，此时外函数在\((-1，0)\)上也单调递增，故\(f(f(x))\)在\(x\in (0，1)\)上单调递增；

当\(x=1\)时，\(f(1)=0\)，\(f(f(1))=0\)；

当\(x\in (1，2)\)时，内函数\(f(x)\)单调递增，且\(f(x)\in (0，e^{-2})\)，此时外函数在\((0，e^{-2})\)上也单调递增，故\(f(f(x))\)在\(x\in (1，2)\)上单调递增，且函数值从\(1\)逐渐增大到\(f(f(2))\)且\(f(f(2))<0\)；

当\(x\in (2，+\infty)\)时，内函数\(f(x)\)单调递减，且\(f(x)\in (0，e^{-2})\)，此时外函数在\((0，e^{-2})\)上单调递增，故\(f(f(x))\)在\(x\in (2，+\infty)\)上单调递减，且函数值逐渐趋近于\(-1\)；

然后，用奇函数的性质对称画出\(x<0\)的那一部分，总体图像如下图所示；

由图可知，函数\(y=f(f(x))\)和\(y=m\)的交点最多有三个，故选\(A\)；

• 下述的解法2，最好先说明借助图像如何由\(x\)找\(f(x)\)，以及由\(f(x)\)找\(x\)；只要双向的对应理解透彻，下述的解法就好思考多了；

【法2】：由外向里，从函数值找自变量，首先利用函数的奇偶性求出函数\(f(x)\)的解析式；

题目给定了\(x<0\)时的解析式，则当\(x>0\)时，\(-x<0\)，则\(f(-x)=(-x+1)e^{-x}\)，

又函数\(f(x)\)为奇函数，则\(f(x)=-f(-x)=-(-x+1)e^{-x}=(x-1)e^{-x}\)，又\(f(0)=0\)，

故函数的解析式为\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{(x+1)e^x，x<0}\\{0，x=0}\\{(x-1)e^{-x}，x>0}\end{array}\right.\)

接下来利用导数先研究\(x<0\)时的单调性，\(f(x)=(x+1)e^x\)，则\(f'(x)=(x+2)e^x\)，

则\(x\in (-\infty，-2)\)时，函数\(f(x)\)单调递减，\(x\in (2，0)\)时，函数\(f(x)\)单调递增，又\(f(0)=1\)，

故结合单调性和奇偶性，做出\(R\)上的函数示意图如下：

令\(F(x)=0\)，即\(f(f(x))=m\)，由图可知，要使得函数\(y=f(f(x))\)与\(y=m\)的图像有交点，则\(m\in (-1，1)\)；接下来关于\(m\)的取值分类讨论如下：

当\(m\in (0，e^{-2})\)时，如图所示，内函数\(f(x)=a，a\in (-1，0)\)或\(f(x)=b，b\in (1，2)\)或\(f(x)=c，c\in (2，+\infty)\)

若\(f(x)=b\)或\(f(x)=c\)时，不存在\(x\)；注意应该是在\(y\)轴上找点\((0，b)\)，然后过此点做\(x\)轴的平行线，显然和函数的图像没有交点；

若\(f(x)=a， a\in (-1，0)\)时，此时和函数的图像最多有三个交点；

当\(m\in (e^{-2}，1)\)时，内函数\(f(x)=a，a\in (-1，0)\)，此时\(f(x)\in (-1，0)\)时，函数\(y=a\)和函数\(y=f(x)\)图像最多有三个交点，

同理，当\(m\in (-e^{-2}，0)\)或\(m\in (-1，-e^{-2})\)时，仿上说明，同样最多有三个交点，故选\(A\)；

例2【2019届高三理科数学资料用题】【2018日照一模】已知函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{|lgx|，x>0}\\{2^{|x|}，x\leq 0}\end{array}\right.\)，则函数\(y=2f^2(x)\) \(-3f(x)\) \(+1\)的零点个数是______个。

分析：函数\(y=2f^2(x)-3f(x)+1\)的零点个数即方程\(2f^2(x)-3f(x)+1=0\)的根的个数，

故先求解方程\(2f^2(x)-3f(x)+1=0\)，即\([2f(x)-1][f(x)-1]=0\)，

解得\(f(x)=1\)或\(f(x)=\cfrac{1}{2}\)，

接下来原方程的根的个数转化为方程\(f(x)=1\)或\(f(x)=\cfrac{1}{2}\)的根的个数，

故做出函数\(y=f(x)\)的图像和直线\(y=1\)和\(y=\cfrac{1}{2}\)，

由图像可以看出，其共有\(5\)个交点，故原函数的零点个数为\(5\)个。

例3【2019届高三理科数学三轮模拟用题】函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{log_2x，x>0}\\{x^2+4x+1，x<0}\end{array}\right.\)，若实数\(a\)满足\(f(f(a))=1\)，则实数\(a\)的所有取值的和为___________。

法1：从数的角度入手思考，将内函数\(f(x)\)理解为整体，则\(f(f(a))=1\)等价于以下的两个方程组，

Ⅰ.\(\left\{\begin{array}{l}{f(a)>0}\\{log_2f(a)=1}\end{array}\right.\)，或者Ⅱ.\(\left\{\begin{array}{l}{f(a)\leq 0}\\{[f(a)]^2+4[f(a)]+1=1}\end{array}\right.\)，

解Ⅰ得到，\(f(a)=2\)①；解Ⅱ得到，\(f(a)=0\)②或者\(f(a)=-4\)③；

再次求解①得到，\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{log_2a=2}\end{array}\right.\)，或\(\left\{\begin{array}{l}{a\leq 0}\\{a^2+4a+1=2}\end{array}\right.\)，

解得\(a=4\)或\(a=-2-\sqrt{5}\)，

求解②得到，\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{log_2a=0}\end{array}\right.\)，或\(\left\{\begin{array}{l}{a\leq 0}\\{a^2+4a+1=0}\end{array}\right.\)，

解得\(a=1\)或\(a=-2\pm \sqrt{3}\)，

求解③得到，\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{log_2a=-4}\end{array}\right.\)，或\(\left\{\begin{array}{l}{a\leq 0}\\{a^2+4a+1=-4}\end{array}\right.\)，

解得\(a=\cfrac{1}{16}\)或\(a\in \varnothing\)，

故实数\(a\)的所有取值的和为\(4-2-\sqrt{5}+1-2-\sqrt{3}-2+\sqrt{3}+\cfrac{1}{16}=-\cfrac{15}{16}-\sqrt{5}\)。

法2：从图像入手分析，待编辑。

例4【2020届高三文科数学周末训练2用题】若函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+1，x\leqslant 0}\\{lnx，x>0，}\end{array}\right.\) 则函数\(y=f[f(x)]+1\)的零点的个数为______ 个。

分析：首先学习理解一个分段函数方程的模型；

模型【求解分段函数方程】【2016第三次全国大联考第15题】已知\(f(x)\)是定义在R上的奇函数，且当\(x<0\)时，\(f(x)=2x-1\)，若\(f(a)=3\)，求实数\(a\)的值。

分析：先由奇偶性求得\(x>0\)时，\(f(x)=2x+1\)，

即得到函数的解析式为\(f(x)=\begin{cases}2x-1&x<0\\0&x=0\\2x+1&x>0\end{cases}\)，且已知\(f(a)=3\)，求\(a\)的值，

等价转化为三个不等式组 \(\begin{cases}a<0\\2a-1=3\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a=0\\0=3\end{cases}\)，或\(\begin{cases}a>0\\2a+1=3\end{cases}\)，

解得\(a=1\)。

学习理解透彻了上述模型后，我们开始求解本题目：

【法1】：从数的角度求解；令\(f(x)=t\)，则函数的零点问题转化为方程\(f(t)=-1\)的解的个数问题；

即相当于已知\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+1，x\leqslant 0}\\{lnx，x>0，}\end{array}\right.\) 且\(f(t)=-1\)，求\(t\)的值；

则上述分段函数方程等价于\(\left\{\begin{array}{l}{t\leqslant 0}\\{t+1=-1}\end{array}\right.\) 或\(\left\{\begin{array}{l}{t> 0}\\{lnt=-1}\end{array}\right.\)

解得\(t=-2\)或者\(t=\cfrac{1}{e}\)，即\(f(x)=-2\)或者\(f(x)=\cfrac{1}{e}\)，到此题目又可以转化为

已知\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+1，x\leqslant 0}\\{lnx，x>0，}\end{array}\right.\) 且\(f(x)=-2\)，求\(x\)的值；可以仿上求解得到\(2\)个\(x\)的值；

或已知\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x+1，x\leqslant 0}\\{lnx，x>0，}\end{array}\right.\) 且\(f(x)=\cfrac{1}{e}\)，求\(x\)的值；亦可以仿上求解得到\(2\)个\(x\)的值；

故所求的零点的个数为\(4\)个。

【法2】：从形的角度求解；先做出分段函数图像如下：

先将函数的零点问题转化为方程\(f[f(x)]=-1\)的根的个数问题；作直线\(y=-1\)与函数\(y=f(x)\)图像有两个交点，其横坐标分别为\(x=-2\)和\(x=\cfrac{1}{e}\)，

然后在同样的图上，再分别作直线\(y=-2\)和\(y=\cfrac{1}{e}\)，可以看出，这两条直线分别和分段函数\(y=f(x)\)有两个交点，故共有四个交点。即所求的零点的个数为\(4\)个。

例11设函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+x,&x<0\\-x^2,&x\ge 0 \end{cases}\)，若\(f(f(a))\leq 2\)，则实数\(a\)的取值范围是_____.

法1：若能将\(f(a)\)理解成已知函数的\(x\)，

则可以将\(f(f(a))\leq 2\)等价转化为以下的两个不等式组：

\(\begin{cases}&f(a)<0\\&f^2(a)+f(a)\leq 2 \end{cases}\) 或 \(\begin{cases}&f(a)\ge0\\&-f^2(a)\leq 2 \end{cases}\)

分别解得：\(-2\leq f(a)<0\)或\(f(a)\ge 0\)，故\(f(a)\ge -2\)；

到此问题转化为已知\(f(x)=\begin{cases}x^2+x,&x<0\\-x^2,&x\ge 0 \end{cases}\)，\(f(a)\ge -2\)，

求实数\(a\)的取值范围，这就容易多了。

再次转化为\(\begin{cases}&a<0\\&a^2+a\ge -2 \end{cases}\) 或 \(\begin{cases}&a\ge0\\&-a^2\ge -2 \end{cases}\)

分别解得：\(a<0\)或\(0\leq a\leq \sqrt{2}\)，故实数\(a\)的取值范围为\((-\infty，+\sqrt{2}]\)。

解后反思：本题经过两次抽丝剥茧般的处理，第一次的结果得到\(f(a)\ge -2\)，

第二次的结果得到\(a\in (-\infty，+\sqrt{2}]\)。

法2：图像法

自行做出函数图像，结合图像可知，

要使得\(f(f(a))\leq 2\)，则必须\(f(a)\ge -2\)，

这时就转化为分段函数不等式问题了。

\(f(a)\ge -2\)等价于以下两个不等式组：

\(\begin{cases}&a<0 \\&a^2+a\ge -2\end{cases}\)或\(\begin{cases}&a\ge 0 \\&-a^2\ge -2\end{cases}\)。

解得\(a<0\)或\(0\leq a\leq \sqrt{2}\)，

故\(a\in(-\infty，\sqrt{2}]\)。

例9已知函数\(y=f(x)\)和\(y=g(x)\)在\([-2，2]\)上的图像如图所示，给出下列四个命题：

①方程\(f[g(x)]=0\)有且仅有\(6\)个根；②方程\(g[f(x)]=0\)有且仅有\(3\)个根；

③方程\(f[f(x)]=0\)有且仅有\(5\)个根；④方程\(g[g(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根；

则正确的命题有 _______________。①③④

【法1】：从里向外分析，重新配图；得空整理；

对于命题①而言，复合函数为\(f[g(x)]\)；为什么如下选择区间？理由¹

在\([-2，x_0]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(-2)]=f(-2)=-2\)，\(f[g(x_0)]=f(-1)=1\)，其中\(g(x_0)=-1\);

在\([x_0，x_1]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(x_1)]=f(0)=0\)，其中\(g(x_1)=0\)；

在\([x_1，x_2]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(x_2)]=f(1)=-1\)，其中\(g(x_2)=1\)；

在\([x_2，-1]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(-1)]=f(2)=2\)；

在\([-1，0]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(0)]=f(1)=-1\)；图中未说明，假定\(g(0)=1\);

在\([0，1]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(1)]=f(-0.3)=0.4\)；\(g(1)=-0.3\)，\(f(-0.3)=0.4\)为估算值；

在\([1，x_3]\)上，\(f[g(x)]\nearrow\)，\(f[g(x_3)]=f(-1)=1\)，其中\(g(x_3)=-1\)；

在\([x_3，2]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(f[g(2)]=f(-2)=-2\)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(f[g(x)]=0\)有且仅有\(6\)个根；故①正确；

对于命题②而言，复合函数为\(g[f(x)]\)；

在\([-2，x_4]\)上，\(g[f(x)]\nearrow\)，\(g[f(-2)]=g(-2)=-2\)，\(g[f(x_4)]=g(-1)=2\)，其中\(f(x_4)=-1\);

在\([x_4，x_5]\)上，\(g[f(x)]\searrow\)，\(g[f(x_5)]=g(0)=1\)，其中\(f(x_5)=0\)；

在\([x_5，-1]\)上，\(g[f(x)]\searrow\)，\(g[f(-1)]=g(1)=-0.3\)；

在\([-1，0]\)上，\(g[f(x)]\nearrow\)，\(g[f(0)]=g(0)=1\)；

在\([0，1]\)上，\(g[f(x)]\nearrow\)，\(g[f(1)]=g(-1)=2\)；

在\([1，x_6]\)上，\(g[f(x)]\searrow\)，\(g[f(x_6)]=g(1)=0\)，其中\(f(x_6)=1\)；

在\([x_6，2]\)上，\(f[g(x)]\searrow\)，\(g[f(2)]=g(2)=-2\)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(g[f(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根；故②错误；

对于命题③而言，复合函数为\(f[f(x)]\)；

在\([-2，x_4]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(-2)]=f(-2)=-2\)，\(f[f(x_4)]=f(-1)=1\)，其中\(f(x_4)=-1\);

在\([x_4，x_5]\)上，\(f[f(x)]\searrow\)，\(f[f(x_5)]=f(0)=0\)，其中\(f(x_5)=0\)；

在\([x_5，-1]\)上，\(f[f(x)]\searrow\)，\(f[f(-1)]=f(1)=-1\)；

在\([-1，0]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(0)]=f(0)=0\)；

在\([0，1]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(1)]=f(-1)=1\)；

在\([1，x_6]\)上，\(f[f(x)]\searrow\)，\(f[f(x_6)]=f(1)=-1\)，其中\(f(x_6)=1\)；

在\([x_6，2]\)上，\(f[f(x)]\nearrow\)，\(f[f(2)]=f(2)=2\)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(f[f(x)]=0\)有且仅有\(5\)个根；故③正确；

对于命题④而言，复合函数为\(g[g(x)]\)；

在\([-2，x_0]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(-2)]=g(-2)=-2\)，\(g[g(x_0)]=g(-1)=2\)，其中\(g(x_0)=-1\);

在\([x_0，x_1]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(x_1)]=f(0)=0\)，其中\(g(x_1)=0\)；

在\([x_1，x_2]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(x_2)]=g(1)=-0.3\)，其中\(g(x_2)=1\)；

在\([x_2，-1]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(-1)]=g(2)=-2\)；

在\([-1，0]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(0)]=g(1)=0\)；

在\([0，1]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(1)]=g(0)=1\)；

在\([1，x_3]\)上，\(g[g(x)]\nearrow\)，\(g[g(x_3)]=g(-1)=2\)，其中\(g(x_3)=-1\)；

在\([x_3，2]\)上，\(g[g(x)]\searrow\)，\(g[g(2)]=f(-2)=-2\)；

根据上述函数值，做出函数图像，由图像可知方程\(g[g(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根；故④正确；

综上所述，正确的命题有①③④。

法2：从外向里分析，由图像可知，\(-2\leqslant g(x)\leqslant 2\)，\(-2\leqslant f(x)\leqslant 2\)，

对于命题①而言，由于满足方程\(f[g(x)]=0\)的\(g(x)\)有\(3\)个不同值，由于每个值\(g(x)\)又对应了\(2\)个\(x\)值，故满足\(f[g(x)]=0\)的\(x\)值有\(6\)个，即方程\(f[g(x)]=0\)有且仅有\(6\)个根，故命题①正确；

[图像使用方法说明]：由\(y=f(x)\)的图像可以看出，使得\(f(x)=0\)的三个零点值分别为\(x_1=-1.6\)，\(x_2=0\)，\(x_3=1.6\)[估算]，

在函数\(y=g(x)\)的图像中，分别做直线\(g(x)=-1.6\)，\(g(x)=0\)，\(g(x)=1.6\)，每一条直线和函数\(y=g(x)\)都有\(2\)个交点，故共有\(6\)个交点。

对于命题②而言，由于满足方程\(g[f(x)]=0\)的\(f(x)\)有\(2\)个不同值，从图中可知，每一个值\(f(x)\)，一个\(f(x)\)的值在\((-2，-1)\)上，另一个\(f(x)\)的值在\((0，1)\)上，当\(f(x)\)的值在\((-2，-1)\)上时，原方程有一个解；当\(f(x)\)的值在\((0，1)\)上时，原方程有\(3\)个解，故满足\(g[f(x)]=0\)的\(x\)值有\(4\)个，即方程\(g[f(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根，故命题②不正确；

对于命题③而言，由于满足方程\(f[f(x)]=0\)的\(f(x)\)有\(3\)个不同值，从图中可知，一个\(f(x)\)的值在\((-2，-1)\)上，一个\(f(x)\)的值为\(0\)，另一个\(f(x)\)的值在\((1，2)\)上；当\(f(x)=0\)对应了\(3\)个不同的\(x\)值，当\(f(x)\)在\((-2，-1)\)上时，只对应一个\(x\)值；当\(f(x)\)的值在\((1，2)\)上时，也只对应一个\(x\)的值，故满足\(f[f(x)]=0\)的\(x\)值有\(5\)个，即方程\(f[f(x)]=0\)有且仅有\(5\)个根，故命题③正确；

对于命题④而言，由于满足方程\(g[g(x)]=0\)的\(g(x)\)有\(2\)个不同值，从图中可知，每个\(g(x)\)的值对应\(2\)个不同的\(x\)值，故满足\(g[g(x)]=0\)的\(x\)值有\(4\)个，即方程\(g[g(x)]=0\)有且仅有\(4\)个根，故命题④正确；

综上所述，正确的命题有①③④。

• 上次编辑时间：2019-07-21

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