05626

设

limx→a+f(x)=limx→+∞f(x)=A

其中$A$是有限数或$\pm \infty $

若$f\left( x \right) = A$,则结论显然成立；若$f\left( x \right) \ne A$,则存在${x_0} \in
\left( {a, + \infty } \right)$,使得$f\left( {{x_0}} \right) \ne A$.

不妨设$f\left( {{x_0}} \right) > A$,则由实数的稠密性知,存在${\varepsilon _0} >
0$,使得

f(x0)>f(x0)?ε0>A

由$\lim \limits_{x \to

a+

} f\left( x \right) = A < A + {\varepsilon _0}$及极限的保号性知

?δ>0,?x∈(a,a+δ),有f(x)<A+ε0

特别地,取${x_1} \in \left( {a,a + \delta } \right)$,且${x_1} <
{x_0}$,则

f(x1)<A+ε0<f(x0)

由连续函数介值定理知,存在${\xi _1} \in \left( {{x_1},{x_0}} \right)$,使得

f(ξ1)=A+ε0

由$\lim \limits_{x \to

+∞

} f\left( x \right) = A < A + {\varepsilon _0}$及极限的保号性知

?M>a,?x>M,有f(x)<A+ε0

特别地,取${x_2} \in \left( {M, + \infty } \right)$,且${x_0} <
{x_2}$,则

f(x2)<A+ε0<f(x0)

由连续函数介值定理知,存在${\xi _2} \in \left( {{x_0},{x_2}} \right)$,使得

f(ξ2)=A+ε0

由$Rolle$中值定理知,存在$\xi \in \left( {{\xi _1},{\xi _2}} \right)$,使得

f′(ξ)=0