1、公共子序列问题
网上有很多关于公共子序列问题，说的大同小异，看了很多不明白，很多都是晦涩难懂，这里分享一个连接，个人觉得讲述的比较明白，易懂。
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6695482
我这里也简单的把自己的理解说一下，求公共子序列问题是一个非常常见的问题，最差的方法就是暴力匹配，暴力匹配算法第一步求去短字符串的所有序列组合，然后从长到短一个一个的去匹配时候有公共序列相同，即使使用了这样的剪枝，该算法效率任然很低。
比较受人青睐的算法当然莫过于动态规划了，动态规划的核心是找到转移方程。把复杂的问题通过转移方程转移到子问题。
- 动态规划算法
事实上，最长公共子序列问题也有最优子结构性质。
记:
Xi=﹤x1，?，xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)（前缀）
Yj=﹤y1，?，yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)（前缀）
假定Z=﹤z1，?，zk﹥∈LCS(X , Y)。
- 若xm=yn（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子序列Z（设长度为k）的最后一个字符，即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子序列。此时，问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）。
- 若xm≠yn，则亦不难用反证法证明：要么Z∈LCS(Xm-1, Y)，要么Z∈LCS(X , Yn-1)。由于zk≠xm与zk≠yn其中至少有一个必成立，若zk≠xm则有Z∈LCS(Xm-1 , Y)，类似的，若zk≠yn 则有Z∈LCS(X , Yn-1)。此时，问题化归成求Xm-1与Y的LCS及X与Yn-1的LCS。LCS(X , Y)的长度为：max{LCS(Xm-1 , Y)的长度, LCS(X , Yn-1)的长度}。
由于上述当xm≠yn的情况中，求LCS(Xm-1 , Y)的长度与LCS(X , Yn-1)的长度，这两个问题不是相互独立的：两者都需要求LCS(Xm-1，Yn-1)的长度。另外两个序列的LCS中包含了两个序列的前缀的LCS，故问题具有最优子结构性质考虑用动态规划法。
也就是说，解决这个LCS问题，你要求三个方面的东西：1、LCS（Xm-1，Yn-1）+1；2、LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）；3、max{LCS（Xm-1，Y），LCS（X，Yn-1）}。
所以解决这个问题的动态转移方程即：
if xm==yn LCS(Xm,Yn)= LCS（Xm-1，Yn-1）+1;
if xm!=yn LCS(Xm,Yn)= max{LCS（Xm-1，Yn),LCS（Xm，Yn-1)};
代码如下：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
/*
c[i][j]存储的是字串1到i位置，字串2到j位置时公共子序列的最大长度
if str1[i] == str2[j] c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
if str1[i] != str2[j] c[i][j] = max{c[i-1][j],c[i][j-1]}
*/
int lcs(char *str1,char *str2,int len1,int len2,int c[100][100])
{
if (str1 == NULL || str2 ==NULL)
{
return -1;//输入字符串错误
}
//初始化记录dp的二维数组
for (int i = 0; i <= len1; i++)
{
for (int j = 0; j <= len2; j++)
{
c[i][j] = 0;
}
}
//dp运算
for (int i = 1; i <= len1; i++)
{
for (int j = 1; j <= len2; j++)
{
if(str1[i-1] == str2[j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
}
else {
c[i][j] = c[i-1][j]>c[i][j-1]?c[i-1][j]:c[i][j-1];
}
}
}
//打印出dp数组存储的内容
for (int i = 0; i <= len1; i++)
{
for (int j = 0; j <= len2; j++)
{
printf("%d ",c[i][j]);
}
printf("\n");
}
//打印出公共子序列
char str[100]={0};
int index = c[len1][len2]-1;
for (int i = len1,j = len2; i>0&&j>0;)
{
if(str1[i-1] == str2[j-1])
{
str[index--] = str1[i-1];
i--;
j--;
}
else
{
if(c[i][j-1]>c[i-1][j])
{
j--;
}else
{
i--;
}
}
}
printf("公共子序列为：%s\n",str);
return c[len1][len2];
}
int main(int argc, char **argv)
{
char str1[] = {"ABCBDAB"};
char str2[] = {"BDCABA"};
int c[100][100];
int len1 = strlen(str1);
int len2 = strlen(str2);
int num = lcs(str1,str2,len1,len2,c);
printf("公共子序列的长度：%d\n",num);
return 0;
}
运行结果
2、最大公共子串
首先区分下公共字串和公共子序列的区别，公共子序列是在整个字符串中只要按照顺序可以不用连续的，但是公共子串是指必须连续的字符串，举个例子
ABCBDAB
BDCABA
公共子序列是 BCBA
公共字串是 AB
求公共字串比公共子序列稍微简单了一些，如果上边所述，公共子串也可以用暴力匹配方法，求出较短的字符串的所有子串，然后可以从长到短利用kmp字符串匹配算法求出公共子串，同时还添加了剪枝，但是字样的暴力匹配效率始终是比较差的，最好的方法还是使用动态规划。
根据上边公共子序列动态规划的方法分析，其实我们可以发现公共子串和公共子序列非常类似
只是在状态转移方程是稍有不同，
事实上，最长公共子串问题也有最优子结构性质。
记:
Xi=﹤x1，?，xi﹥即X序列的前i个字符 (1≤i≤m)（前缀）
Yj=﹤y1，?，yj﹥即Y序列的前j个字符 (1≤j≤n)（前缀）
假定Z=﹤z1，?，zk﹥∈LCS(X , Y)。
- 若xm=yn（最后一个字符相同），则不难用反证法证明：该字符必是X与Y的任一最长公共子串Z（设长度为k）的最后一个字符，即有zk = xm = yn 且显然有Zk-1∈LCS(Xm-1 , Yn-1)即Z的前缀Zk-1是Xm-1与Yn-1的最长公共子串。此时，问题化归成求Xm-1与Yn-1的LCS（LCS(X , Y)的长度等于LCS(Xm-1 , Yn-1)的长度加1）。
- 重要的是这里的不同：
- 若xm≠yn，由于zk≠xm与zk≠yn 那么说明之前相同的字符串也不能连接起来，此时的LCS(X,Y) 的长度回归到0重新找最长的公共子串。
所以：关于最长公共子串的动态转移方程为：
if xm==yn LCS(Xm,Yn)= LCS（Xm-1，Yn-1）+1;
if xm!=yn LCS(Xm,Yn)= 0;
代码如下：
#include <stdio.h>
#include <string.h>
/*
c[i][j]存储的是字串1到i位置，字串2到j位置时公共字串的最大长度
if str1[i] == str2[j] c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
if str1[i] != str2[j] c[i][j] = 0
*/
int lcs(char *str1,char *str2,int len1,int len2,int c[100][100])
{
if (str1 == NULL || str2 ==NULL)
{
return -1;//输入字符串错误
}
//初始化记录dp的二维数组
for (int i = 0; i <= len1; i++)
{
for (int j = 0; j <= len2; j++)
{
c[i][j] = 0;
}
}
//dp运算
int max = -1;
int col=0,row=0;
for (int i = 1; i <= len1; i++)
{
for (int j = 1; j <= len2; j++)
{
if(str1[i-1] == str2[j-1])
{
c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
if(c[i][j]>max)
{
row = i;
col = j;
max = c[i][j];
}
}
else {
c[i][j] = 0;
}
}
}
//打印出dp数组存储的内容
for (int i = 0; i <= len1; i++)
{
for (int j = 0; j <= len2; j++)
{
printf("%d ",c[i][j]);
}
printf("\n");
}
//打印出公共子串
printf("最长公共子串：");
for (int i = row-max; i<row;i++)
{
printf("%c",str1[i]);
}
printf("\n");
return max;
}
int main(int argc, char **argv)
{
char str1[] = {"ABCBDAB"};
char str2[] = {"BDCABA"};
int c[100][100];
int len1 = strlen(str1);
int len2 = strlen(str2);
printf("字符串1：%s\n",str1);
printf("字符串2：%s\n",str2);
int num = lcs(str1,str2,len1,len2,c);
printf("公共子序列的长度：%d\n",num);
return 0;
}
结果：
