#1298 : 数论五·欧拉函数
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描述
小Hi和小Ho有时候会用密码写信来互相联系，他们用了一个很大的数当做密钥。小Hi和小Ho约定了一个区间[L,R]，每次小Hi和小Ho会选择其中的一个数作为密钥。
小Hi：小Ho，这次我们选[L,R]中的一个数K。
小Ho：恩，小Hi，这个K是多少啊？
小Hi：这个K嘛，不如这一次小Ho你自己想办法算一算怎么样？我这次选择的K满足这样一个条件：
假设φ(n)表示1..n-1中与n互质的数的个数。对于[L,R]中的任意一个除K以外的整数y，满足φ(K)≤φ(y)且φ(K)=φ(y)时，K<y。
也即是K是[L,R]中φ(n)最小并且值也最小的数。
小Ho：噫，要我自己算么？
小Hi：没错！
小Ho：好吧，让我想一想啊。
<几分钟之后...>
小Ho：啊，不行了。。感觉好难算啊。
小Hi：没有那么难吧，小Ho你是怎么算的？
小Ho：我从枚举每一个L,R的数i，然后利用辗转相除法去计算[1,i]中和i互质的数的个数。但每计算一个数都要花好长的时间。
小Hi：你这样做的话，时间复杂度就很高了。不妨告诉你一个巧妙的算法吧：
输入
第1行：2个正整数, L,R，2≤L≤R≤5,000,000。
输出
第1行：1个整数，表示满足要求的数字K
- 样例输入
-
4 6
- 样例输出
-
4
pre.cjk { font-family: "Droid Sans Fallback", monospace }
p { margin-bottom: 0.25cm; line-height: 120% }
a:link { }
-
欧拉函数：小于n的正整数中与n互质的数的个数。
性质：
(1) 若n为素数，则φ(n) = n - 1
显然，由于n为素数，1~n-1与n都只有公因子1，因此φ(n) = n - 1。
(2) 若n = p^k，p为素数（即n为单个素数的整数幂），则φ(n) = (p-1)*p^(k-1)
因为n是p的整数幂，因此所有p的倍数和n都不互质。小于n的p的倍数一共有p^(k-1)-1个，因此和n互质的个数为：
p^k-1- (p^(k-1)-1) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1)
(3) 若p和q互质，则φ(p*q) = φ(p) * φ(q)
由以上性质，可以推出以下定理：
(1) 若p为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * p
若p为n的约数，且p为质数。则我们可以将n表示为p^k*m。m表示其他和p不同的质数的乘积。
显然有p^k与m互质，则：
φ(n) = φ(p^k)*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m)
φ(n*p) = φ(p^(k+1))*φ(m) = (p-1)*p^k*φ(m) = (p-1)*p^(k-1)*φ(m) * p = φ(n) * p
(2) 若p为不为n的约数，则φ(n*p) = φ(n) * (p-1)
由p不为n的约数，因此p与n互质，所以φ(n*p) = φ(n) * φ(p) = φ(n)*(p-1)
有了这些定理，就可以用Eular筛法求出欧拉函数了。
因为每个素数都可以直接计算，每个合数都会被筛掉，所以每个数都会计算到。
1 #include<set> 2 #include<map> 3 #include<queue> 4 #include<stack> 5 #include<ctime> 6 #include<cmath> 7 #include<string> 8 #include<vector> 9 #include<cstdio> 10 #include<cstdlib> 11 #include<cstring> 12 #include<iostream> 13 #include<algorithm> 14 #define maxn 5000010 15 using namespace std; 16 bool su[maxn]; 17 int f[maxn]; 18 int Eular[maxn]; 19 int main() 20 { 21 freopen("!.in","r",stdin); 22 freopen("!.out","w",stdout); 23 int l,r,sum=0; 24 scanf("%d%d",&l,&r); 25 for(int i=1;i<=r;i++) su[i]=1; 26 for(int i=2;i<=r;i++){ 27 if(su[i])f[++sum]=i,Eular[i]=i-1; 28 for(int j=1;j<=sum;j++){ 29 if(f[j]*i>r) break; 30 su[f[j]*i]=0; 31 if(i%f[j]==0){ 32 Eular[i*f[j]]=Eular[i]*f[j]; 33 break; 34 } 35 else Eular[i*f[j]]=Eular[i]*(f[j]-1); 36 } 37 } 38 int zd=1999999999,id; 39 for(int i=l;i<=r;i++) 40 if(Eular[i]<zd) zd=Eular[i],id=i; 41 printf("%d",id); 42 return 0; 43 }