约瑟夫问题：
用户输入M,N值，从1至N开始顺序循环数数，每数到M输出该数值，直至全部输出。写出C程序。
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
typedef struct ringnode{
int pos;
struct ringnode *next;
}ring,*Ring;
void create(Ring Head,int count)
{
Ring cur = NULL, tail = NULL;
int i = 1;
tail = Head;
while(--count > 0)
{
cur = (Ring)malloc(sizeof(ring));
i++;
cur -> pos = i;
tail -> next = cur;
tail = cur;
}
tail -> next = Head;
}
void play(Ring Head,int m)
{
Ring cur,tail;
int i = 1;
cur = tail = Head;
while(cur!=NULL)
{
if(i == m)
{
printf("\n %d",cur->pos);
tail -> next = cur -> next;
free(cur);
cur = tail -> next;
i = 1;
}
tail = cur;
cur = cur->next;
if(tail == cur)
{
printf("\n %d",cur->pos);
free(cur);
break;
}
i++;
}
}
int main(void)
{
Ring head = NULL;
int m = 0, n = 0;
printf("-------------------the game start-------------------\n");
printf("N(person count) = ");
scanf("%d",&n);
printf("M(out count) = ");
scanf("%d",&m);
if(n <= 0 || m <= 0)
{
printf("input error!\n");
system("pause");
return 0;
}
head = (Ring)malloc(sizeof(ring));
head->pos = 1;
head->next = NULL;
create(head,n);
printf("\norder:");
play(head,m);
printf("\n");
system("pause");
return 0;
}
对问题的简化，若只是求出最后胜利者。
思想：归纳为数学性问题。原文说的很好，还是直接Copy吧，因为搜索半天也没有找到原作者，所以无法添加引用地址了，如果这位大哥看到这里，请告知与我，小弟立刻加入引用链接:)
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
借鉴如下：
#include <stdio.h>
int main()
{
int n, m, i, s = 0;
printf ("N M = ");
scanf("%d%d", &n, &m);
for (i = 2; i <= n; i++)
{
s = (s + m) % i;
}
printf ("\nThe winner is %d\n", s+1);
}
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。
相比之下，解法二的优越性不言而喻，同时说明数学确实很重要。