[NOI2015]寿司晚宴
题目描述
为了庆祝NOI的成功开幕，主办方为大家准备了一场寿司晚宴。
小G和小W作为参加NOI的选手，也被邀请参加了寿司晚宴。
在晚宴上，主办方为大家提供了n?1种不同的寿司，编号1,2,3,?,n-1，其中第种寿司的美味度为i+1（即寿司的美味度为从2到n）。
现在小G和小W希望每人选一些寿司种类来品尝，他们规定一种品尝方案为不和谐的当且仅当：
小G品尝的寿司种类中存在一种美味度为x的寿司，小W品尝的寿司中存在一种美味度为y的寿司，而x与y不互质。
现在小G和小W希望统计一共有多少种和谐的品尝寿司的方案（对给定的正整数p取模）。
注意一个人可以不吃任何寿司
输入格式：
从文件dinner.in中读入数据。
输入文件的第1行包含2个正整数n，p中间用单个空格隔开，表示共有n种寿司，最终和谐的方案数要对p取模。
输出格式：
输出到文件dinner.out中。
输出一行包含1个整数，表示所求的方案模p的结果。
数据范围：
\(30pt : 2 <= n <= 30\)
\(50pt : 2 <= n <= 100\)
\(70pt : 2 <= n <= 200\)
\(100pt : 2 <= n <= 500\)
\(p <= 1000000000\)
嗯。。。。。。。。。怎么讲呢？虽然自己很快就想出来了，但是感觉自己还是很弱。
周六下午，一看这数据范围，\(O(n^{3})\)的\(DP\)
\(dp(i,j,k)\)表示枚举到第\(i\)个数字，第\(j\)个质数，第\(k\)个。。。。。哪来的三个维？？？
突然想到大佬提起过状压。
还能压什么？压因子啊。
看了下500以内的素数个数：94个。。。。。。不现实啊
突然想到\(\sqrt{500}=22\)内只有\(2,3,5,7,11,13,17,19\)这\(8\)个质数
\(dp(i,S)\)表示枚举到数字\(i\)，因子状态为\(S\)
复杂度\(O(2^8*n)\)。。。。太小了吧。。。。。
不是两个集合吗？加一维：\(dp(i,S1,S2)\)表示枚举到数字\(i\)，第一个集合的因子状态\(S1\)，第二个\(S2\)
嗯。。。。。。大于\(\sqrt{n}\)的怎么办？？？
放置了一会去想其他题目，突然懂了大于\(\sqrt{n}\)的因子不会在一个一个数中出现两次，因此可以把每个大因子集合单独拿出来\(DP\)
？？？做完了？？？其实思路是差不多完了。
进入正题：
对于第一维根本没有必要保持，可以去掉。
设\(sta[i]\)表示\(i\)的因子状压出来的数字。
小因子转移方程：
\(dp(S1|sta[i],S2)=dp(S1|sta[i],S2)+dp(S1,S2)(sta[i]\;and\;S2==0)\)
\(dp(S1,S2|sta[i])=dp(S1,S2|sta[i])+dp(S1,S2)(sta[i]\;and\;S1==0)\)
而对于大因子，我们需要多开一维来记录大因子允许存在于第几个集合中
即\(f(0/1,S1,S2)\)
转移方程：（以下转移条件同上，略去）
\(f(0,S1|sta[i],S2)=f(0,S1|sta[i],S2)+f(0,S1,S2)\)
\(f(1,S1|sta[i],S2)=f(1,S1|sta[i],S2)+f(1,S1,S2)\)
而最后合并的时候，因为两个\(f\)数组中都考虑了大因子不存在的情况，因此要减去一个，减什么？
还有什么没有考虑大因子呢？
自然是\(dp(S1,S2)\)
大因子DP合并到小因子DP转移方程：
\(dp(S1,S2)=f(0,S1,S2)+f(1,S1,S2)-dp(S1,S2)\)
最后答案即为：
\(\sum_{i=0}^{2^{8}-1} \sum_{j=0}^{2^{8}-1} dp(i,j)\)
时间复杂度：\(O(n*2^{16})\)
补充：
模的是\(10^{10}\)是\(long\;\;long\)范围的，不能开\(int\)
卡常代码，不建议仿生，可以选择参考其他人的
原文地址：https://www.cnblogs.com/reverymoon/p/8921611.html