稀疏矩阵(Sparse
Matrix)：对于稀疏矩阵，目前还没有一个确切的定义。设矩阵A是一个n*m的矩阵中有s个非零元素，设 δ=s/(n*m)，称δ为稀疏因子，
如果某一矩阵的稀疏因子δ满足δ≦0.05时称为稀疏矩阵，
稀疏矩阵的压缩存储
对于稀疏矩阵，采用压缩存储方法时，只存储非0元素。必须存储非0元素的行下标值、列下标值、元素值。因此，一个三元组(i, j,
aij)唯一确定稀疏矩阵的一个非零元素。
上图的稀疏矩阵A的三元组线性表为： ( (1,2,12), (1,3,9), (3,1,-3), (3,8,4), (4,3,24), (5,2,18),
(6,7,-7), (7,4,-6) )
1 三元组顺序表
若以行序为主序，稀疏矩阵中所有非0元素的三元组，就可以得构成该稀疏矩阵的一个三元组顺序表。
1 function Triple(i, j, elem) {
2 // 该非零元的行下标和列下标
3 this.i = i || 0;
4 this.j = j || 0;
5 this.e = elem || null;
6 }
7
8 function TSMatrix(mu, nu) {
9 // 非零元三元组表
10 this.data = [];
11 // 矩阵的行数，列数
12 this.mu = mu || 0;
13 this.nu = nu || 0;
14 }
下图所示的稀疏矩阵及其相应的转置矩阵所对应的三元组顺序表：
一个m*n的矩阵A，它的转置B是一个n*m的矩阵，且b[i][j]=a[j][i]，0≦i≦n，0≦j≦m，即B的行是A的列，B的列是A的行。
设稀疏矩阵A是按行优先顺序压缩存储在三元组表a.data中，若仅仅是简单地交换a.data中i和j的内容，得到三元组表b.data，
b.data将是一个按列优先顺序存储的稀疏矩阵B，要得到按行优先顺序存储的b.data，就必须重新排列三元组表b.data中元素的顺序。
求转置矩阵的基本算法思想是：
① 将矩阵的行、列下标值交换。即将三元组表中的行、列位置值i 、j相互交换；
② 重排三元组表中元素的顺序。即交换后仍然是按行优先顺序排序的。
方法一： 算法思想：按稀疏矩阵A的三元组表a.data中的列次序依次找到相应的三元组存入b.data中。
每找转置后矩阵的一个三元组，需从头至尾扫描整个三元组表a.data 。找到之后自然就成为按行优先的转置矩阵的压缩存储表示
TSMatrix.prototype = {
constructor: TSMatrix,
addTriple: function (triple) {
if (triple instanceof Triple) {
if(triple.i >= this.mu)
this.mu = triple.i + 1;
if(triple.j >= this.nu)
this.nu = triple.j + 1;
this.data.push(triple);
return true;
}
return false;
},
// 采用三元组表存储表示，求稀疏矩阵的转置矩阵t
// 按照b.data中三元组的次序依次在a.data中找到相应的三元组进行转置
transposeSMatrix: function () {
var t = new TSMatrix();
t.mu = this.nu;
t.nu = this.mu;
if (this.data.length) {
var q = 0;
for (var col = 0; col < this.nu; col++) {
for (var p = 0; p < this.data.length; p++) {
if (this.data[p].j === col)
t.data[q++] = new Triple(this.data[p].j, this.data[p].i, this.data[p].e);
}
}
}
return t;
}
};
算法分析：本算法主要的工作是在p和col的两个循环中完成的，故算法的时间复杂度为O(nu *
data.length)，即矩阵的列数和非0元素的个数的乘积成正比。
方法二(快速转置的算法) 算法思想：
直接按照稀疏矩阵A的三元组表a.data的次序依次顺序转换，并将转换后的三元组放置于三元组表b.data的恰当位置。
前提：若能预先确定原矩阵A中每一列的(即B中每一行)第一个非0元素在b.data中应有的位置，则在作转置时就可直接放在b.data中恰当的位置。
因此，应先求得A中每一列的非0元素个数。 附设两个辅助向量num[ ]和cpot[ ] 。
◆ num[col]：统计A中第col列中非0元素的个数；
◆ cpot[col] ：指示A中第一个非0元素在b.data中的恰当位置。
显然有位置对应关系：
快速转置算法如下：
1 // 采用三元组表存储表示，求稀疏矩阵的转置矩阵t
2 /*
3 按照a.data中三元组的次序进行转置，并将转置后的三元组置入b中恰当的位置。
4 如果能预先确定矩阵M中每一列（即T中每一行）的第一个非零元在b.data中应有的位置，
5 那么在对a.data中的三元组依次做转置时，便可直接放到b.data中恰当的位置上去。
6 为了其额定这些位置，在转置前，应先求得M的每一列中非零元的个数，进而求得每一列的第一个非零元在b.data中应有的位置。
7 在此，需要设num和cpot两个变量。num[col]表示矩阵M中第col列中非零元的个数，
8 cpot[col]指示M中第col列的第一个非零元在b.data中的恰当位置。显然有：
9 cpot[0] = 1;
10 cpot[col] = cpot[col - 1] + num[col - 1] 2 <= col <= a.nu
11 */
12 TSMatrix.prototype.fastTransposeSMatrix = function(){
13 var t = new TSMatrix();
14 t.mu = this.nu;
15 t.nu = this.mu;
16
17 if(this.data.length){
18 var num = [];
19 for(var col = 0; col < this.nu; col++)
20 num[col] = 0;
21 for(var i = 0; i < this.data.length; i++)
22 ++num[this.data[i].j]; // 求矩阵中每一列含非零元个数
23 // 求第col列中第一个非零元在b.data中的序号
24 var cpot = [0];
25 for(col = 1; col < this.nu; col++)
26 // 上一列之前的序号+上一列的非零元个数 = 该列的序号
27 cpot[col] = cpot[col - 1] + num[col - 1];
28 for(var p = 0; p < this.data.length; p++){
29 col = this.data[p].j;
30 var q = cpot[col];
31 t.data[q] = new Triple(this.data[p].j, this.data[p].i, this.data[p].e);
32 // 给该列的序号+1，用作相同列数的情况
33 ++cpot[col];
34 }
35 }
36
37 return t;
38 }
三元组顺序表又称有序的双下标法，它的特点是，非零元在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。
然而，若需按行号存取某一行的非零元，则从头开始进行查找。
行逻辑链接的顺序表
为了便于随机存取任意一行的非零元，则需知道每一行的第一个非零元在三元组表中的位置。
为此可将快速转置矩阵的算法中创建的，指示“行”信息的辅助数组cpot固定在稀疏矩阵的存储结构中。
称这种“带行链接信息”的三元组表为行逻辑链接的顺序表
设有两个稀疏矩阵A=(aij)m*n ，B=(bij)n*p ，其存储结构采用行逻辑链接的三元组顺序表。求稀疏矩阵的乘法：
1 function RLSMatrix(mu, nu){
2 TSMatrix.apply(this, arguments);
3 this.rpos = [0];
4 }
5 RLSMatrix.MAXSIZE = 100;
6 RLSMatrix.prototype = {
7 constructor: RLSMatrix,
8 __proto__: TSMatrix.prototype,
9 // todo
10 /**
11 * 求矩阵乘积Q = M * N，采用行逻辑链接存储表示
12 * @param nMatrix
13 * @returns {RLSMatrix}
14 */
15 multSMatrix: function(nMatrix){
16 if(this.nu !== nMatrix.mu) throw Error(‘nu is not equivalent to mu‘);
17
18 // 初始化Q
19 var qMatrix = new RLSMatrix(this.mu, nMatrix.nu);
20 // Q是非零矩阵
21 if(this.data.length * nMatrix.data.length !== 0){
22 // 处理M的每一行
23 for(var arow = 0; arow < this.mu; arow++){
24 // 当前行各元素累加器清零
25 var ctemp = [];
26 qMatrix.rpos[arow] = qMatrix.data.length + 1;
27 var tp, ccol;
28
29 if(arow < this.mu)
30 tp = this.rpos[arow + 1];
31 else
32 tp = this.data.length + 1;
33
34 //对当前行中每一个非零元找到对应元在N中的行号
35 for(var p = this.rpos[arow]; p < tp; p++){
36 var brow = this.data[p].j;
37 var t;
38 if(brow < nMatrix.mu)
39 t = nMatrix.rpos[brow + 1];
40 else
41 t = nMatrix.data.length + 1;
42
43 for(var q = nMatrix.rpos[brow]; q < t; q++){
44 // 乘积元素在Q中的序号
45 ccol = nMatrix.data[q].j;
46 ctemp[ccol] = (ctemp[ccol] || 0) + this.data[p].e * nMatrix.data[q].e;
47 }
48 }
49
50 // 压缩存储该行非零元
51 for(ccol = 1; ccol < qMatrix.nu; ccol++){
52 if(ctemp[ccol]){
53 if(++qMatrix.data.length > RLSMatrix.MAXSIZE) throw Error(‘overflow‘);
54 qMatrix.data[qMatrix.data.length - 1] = new Triple(arow, ccol, ctemp[ccol]);
55 }
56 }
57 }
58 }
59
60 return qMatrix;
61 },
62 _calcPos: function clcPos(){
63 var num = [];
64 for(var col = 0; col < this.nu; col++)
65 num[col] = 0;
66 for(var i = 0; i < this.data.length; i++)
67 ++num[this.data[i].j]; // 求矩阵中每一列含非零元个数
68 // 求第col列中第一个非零元在b.data中的序号
69 for(col = 1; col < this.nu; col++)
70 // 上一列之前的序号+上一列的非零元个数 = 该列的序号
71 this.rpos[col] = this.rpos[col - 1] + num[col - 1];
72 }
73 };
所有代码：
1 /**
2 * 系数矩阵的三元组顺序表存储表示
3 */
4
5
6 function Triple(i, j, elem) {
7 // 该非零元的行下标和列下标
8 this.i = i || 0;
9 this.j = j || 0;
10 this.e = elem || null;
11 }
12
13 function TSMatrix(mu, nu) {
14 // 非零元三元组表
15 this.data = [];
16 // 矩阵的行数，列数
17 this.mu = mu || 0;
18 this.nu = nu || 0;
19 }
20 TSMatrix.prototype = {
21 constructor: TSMatrix,
22 addTriple: function (triple) {
23 if (triple instanceof Triple) {
24 if(triple.i >= this.mu)
25 this.mu = triple.i + 1;
26 if(triple.j >= this.nu)
27 this.nu = triple.j + 1;
28
29 this.data.push(triple);
30 return true;
31 }
32 return false;
33 },
34 // 采用三元组表存储表示，求稀疏矩阵的转置矩阵t
35 // 按照b.data中三元组的次序依次在a.data中找到相应的三元组进行转置
36 transposeSMatrix: function () {
37 var t = new TSMatrix();
38 t.mu = this.nu;
39 t.nu = this.mu;
40
41 if (this.data.length) {
42 var q = 0;
43 for (var col = 0; col < this.nu; col++) {
44 for (var p = 0; p < this.data.length; p++) {
45 if (this.data[p].j === col)
46 t.data[q++] = new Triple(this.data[p].j, this.data[p].i, this.data[p].e);
47 }
48 }
49 }
50
51 return t;
52 },
53 // 采用三元组表存储表示，求稀疏矩阵的转置矩阵t
54 /*
55 按照a.data中三元组的次序进行转置，并将转置后的三元组置入b中恰当的位置。
56 如果能预先确定矩阵M中每一列（即T中每一行）的第一个非零元在b.data中应有的位置，
57 那么在对a.data中的三元组依次做转置时，便可直接放到b.data中恰当的位置上去。
58 为了其额定这些位置，在转置前，应先求得M的每一列中非零元的个数，进而求得每一列的第一个非零元在b.data中应有的位置。
59 在此，需要设num和cpot两个变量。num[col]表示矩阵M中第col列中非零元的个数，
60 cpot[col]指示M中第col列的第一个非零元在b.data中的恰当位置。显然有：
61 cpot[0] = 1;
62 cpot[col] = cpot[col - 1] + num[col - 1] 2 <= col <= a.nu
63 */
64 fastTransposeSMatrix: function(){
65 var t = new TSMatrix();
66 t.mu = this.nu;
67 t.nu = this.mu;
68
69 if(this.data.length){
70 var num = [];
71 for(var col = 0; col < this.nu; col++)
72 num[col] = 0;
73 for(var i = 0; i < this.data.length; i++)
74 ++num[this.data[i].j]; // 求矩阵中每一列含非零元个数
75 // 求第col列中第一个非零元在b.data中的序号
76 var cpot = [0];
77 for(col = 1; col < this.nu; col++)
78 // 上一列之前的序号+上一列的非零元个数 = 该列的序号
79 cpot[col] = cpot[col - 1] + num[col - 1];
80 for(var p = 0; p < this.data.length; p++){
81 col = this.data[p].j;
82 var q = cpot[col];
83 t.data[q] = new Triple(this.data[p].j, this.data[p].i, this.data[p].e);
84 // 给该列的序号+1，用作相同列数的情况
85 ++cpot[col];
86 }
87 }
88
89 return t;
90 }
91 };
92
93 var a1 = new Triple(1, 2, 12);
94 var a2 = new Triple(1, 3, 9);
95 var a3 = new Triple(3, 1, -3);
96 var a4 = new Triple(3, 6, 14);
97 var a5 = new Triple(4, 3, 24);
98 var a6 = new Triple(5, 2, 18);
99 var a7 = new Triple(6, 1, 15);
100 var a8 = new Triple(6, 4, -7);
101
102 var matrix = new TSMatrix();
103 matrix.addTriple(a1);
104 matrix.addTriple(a2);
105 matrix.addTriple(a3);
106 matrix.addTriple(a4);
107 matrix.addTriple(a5);
108 matrix.addTriple(a6);
109 matrix.addTriple(a7);
110 matrix.addTriple(a8);
111
112 console.log(matrix.transposeSMatrix());
113 console.log(matrix.fastTransposeSMatrix());
114
115 /*
116 三元组顺序表又称有序的双下标法，它的特点是，非零元在表中按行序有序存储，因此便于进行依行顺序处理的矩阵运算。
117 然而，若需按行号存取某一行的非零元，则从头开始进行查找。
118 */
119
120 /**
121 * 行逻辑链接的顺序表
122 *
123 * 为了便于随机存取任意一行的非零元，则需知道每一行的第一个非零元在三元组表中的位置。
124 * 为此可将快速转置矩阵的算法中创建的，指示“行”信息的辅助数组cpot固定在稀疏矩阵的存储结构中。
125 * 称这种“带行链接信息”的三元组表为行逻辑链接的顺序表
126 */
127
128 function RLSMatrix(mu, nu){
129 TSMatrix.apply(this, arguments);
130 this.rpos = [0];
131 }
132 RLSMatrix.MAXSIZE = 100;
133 RLSMatrix.prototype = {
134 constructor: RLSMatrix,
135 __proto__: TSMatrix.prototype,
136 // todo
137 /**
138 * 求矩阵乘积Q = M * N，采用行逻辑链接存储表示
139 * @param nMatrix
140 * @returns {RLSMatrix}
141 */
142 multSMatrix: function(nMatrix){
143 if(this.nu !== nMatrix.mu) throw Error(‘nu is not equivalent to mu‘);
144
145 // 初始化Q
146 var qMatrix = new RLSMatrix(this.mu, nMatrix.nu);
147 // Q是非零矩阵
148 if(this.data.length * nMatrix.data.length !== 0){
149 // 处理M的每一行
150 for(var arow = 0; arow < this.mu; arow++){
151 // 当前行各元素累加器清零
152 var ctemp = [];
153 qMatrix.rpos[arow] = qMatrix.data.length + 1;
154 var tp, ccol;
155
156 if(arow < this.mu)
157 tp = this.rpos[arow + 1];
158 else
159 tp = this.data.length + 1;
160
161 //对当前行中每一个非零元找到对应元在N中的行号
162 for(var p = this.rpos[arow]; p < tp; p++){
163 var brow = this.data[p].j;
164 var t;
165 if(brow < nMatrix.mu)
166 t = nMatrix.rpos[brow + 1];
167 else
168 t = nMatrix.data.length + 1;
169
170 for(var q = nMatrix.rpos[brow]; q < t; q++){
171 // 乘积元素在Q中的序号
172 ccol = nMatrix.data[q].j;
173 ctemp[ccol] = (ctemp[ccol] || 0) + this.data[p].e * nMatrix.data[q].e;
174 }
175 }
176
177 // 压缩存储该行非零元
178 for(ccol = 1; ccol < qMatrix.nu; ccol++){
179 if(ctemp[ccol]){
180 if(++qMatrix.data.length > RLSMatrix.MAXSIZE) throw Error(‘overflow‘);
181 qMatrix.data[qMatrix.data.length - 1] = new Triple(arow, ccol, ctemp[ccol]);
182 }
183 }
184 }
185 }
186
187 return qMatrix;
188 },
189 _calcPos: function clcPos(){
190 var num = [];
191 for(var col = 0; col < this.nu; col++)
192 num[col] = 0;
193 for(var i = 0; i < this.data.length; i++)
194 ++num[this.data[i].j]; // 求矩阵中每一列含非零元个数
195 // 求第col列中第一个非零元在b.data中的序号
196 for(col = 1; col < this.nu; col++)
197 // 上一列之前的序号+上一列的非零元个数 = 该列的序号
198 this.rpos[col] = this.rpos[col - 1] + num[col - 1];
199 }
200 };
201
202 var b1 = new Triple(1, 1, 3);
203 var b2 = new Triple(1, 3, 5);
204 var b3 = new Triple(2, 2, -1);
205 var b4 = new Triple(3, 1, 2);
206
207 var t1 = new RLSMatrix();
208 t1.addTriple(b1);
209 t1.addTriple(b2);
210 t1.addTriple(b3);
211 t1.addTriple(b4);
212 t1._calcPos();
213
214 var c1 = new Triple(1, 2, 2);
215 var c2 = new Triple(2, 1, 1);
216 var c3 = new Triple(3, 1, -2);
217 var c4 = new Triple(3, 2, 4);
218
219 var t2 = new RLSMatrix();
220 t2.addTriple(c1);
221 t2.addTriple(c2);
222 t2.addTriple(c3);
223 t2.addTriple(c4);
224 t2._calcPos();
225
226 t1.multSMatrix(t2);
javascript实现数据结构: 稀疏矩阵之三元组线性表表示
时间： 2024-10-19 05:06:34