NOIP200407合唱队形+最长上升子序列O(n^2)详解

合唱队形解题报告

2016-05-12   4：30——6：45

代码：

 1 #include<iostream>
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 3 using namespace std;
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 5 int b[110],c[110],a[110];
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 7 //    分别定义了三个数组：数组a（用来储存输入数据），数组b（用来存储从a[1]到a[n]的最大严格上升子序列长度），数组c（用来存储从a[n]到a[1]的最大严格下降子序列长度）
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 9 int main()
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11 {
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15     int n,ans=0,i,j;
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17     scanf("%d",&n);//输入
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19     for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
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21     b[1]=1;
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23 for(i=2;i<=n;i++)
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25 //从a[2]开始求最大严格上升子序列长度
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27        {
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29         b[i]=1;
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31         for(j=1;j<i;j++)
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33             if(a[i]>a[j]) b[i]=max(b[i],b[j]+1);
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35             //如果a[i]>a[j]，则可能从a[1]到a[i]的最大严格上升子序列长度又增加了1。
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37     }
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39 c[n]=1;
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41 //从a[n]开始求最大严格上升子序列长度
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43     for(i=n-1;i>=1;i--)
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45        {
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47         c[i]=1;
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49         for(j=n;j>i;j--)
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51             if(a[i]>a[j]) c[i]=max(c[i],c[j]+1);
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53             //如果a[i]<a[j]，则可能从a[i]到a[n]的最大严格上升子序列长度又增加了1。
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55     }
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57     for(i=1;i<=n;i++)
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59         if(b[i]+c[i]>ans) ans=b[i]+c[i];//更新答案
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61     printf("%d",n-ans+1);//输出
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63 }

《合唱队形》这道题其实就是《求最长下降/上升子序列》的翻版。但如果用循环直接搜固然很难办，而且不知道会用多长时间，所以，简单动态规划的思想很容易办到。

b[i]=1;

这句赋值语句固然很好理解，每一个元素，也可以视为一个符合题意的子序列，不论是最长上升、最长下降。所以从a[1]

到a[i]的符合题意的子序列必将有一个。比如有如下一组数。

b[1]是  1，原因如上。

那b[2]呢？如图，它显然比a[1]高，在执行如下语句时

for(j=1;j<i;j++)   if(a[i]>a[j])

j小于i，也就是2，目前符合条件的只有a[1]，a[1]又通过了判断语句，它确实小于a[i]，执行下一条语句：

b[i]=max(b[i],b[j]+1);

b[2]显然原来是1，当它和b[1]+1比时，1当然比2小，所以，b[2]自然就是2了。由此，这个方法只需要一维数组就行了。、

O(nlogn)的方法，将下次介绍。这样的方法的时间复杂度为O(n^2)。

b[1]=1;
解决完了这个问题，这道题就非常简单了，先从下往上搜一遍最长上升子序列，代码如下：

for(i=2;i<=n;i++)

       {

        b[i]=1;

        for(j=1;j<i;j++)

            if(a[i]>a[j])
b[i]=max(b[i],b[j]+1);

}

再反着从上往下搜一下最长上升子序列：

这段代码一定就很好理解了：

for(i=1;i<=n;i++)

        if(b[i]+c[i]>ans) ans=b[i]+c[i];

一直更新ans，要求出队人数最少，自然要让保留人数最多。

最后输出n-ans+1。