混沌现象其基本含义可以概括为：聚散有法，周行而不殆，回复而不闭。意思是说混沌轨道的运动完全受规律支配，但相空间中轨道运动不会中止，在有限空间中永远运动着，不相交也不闭合。浑沌运动表观上是无序的，产生了类随机性，也称内在随机性。
混沌系统具有三个关键要素：一是对初始条件的敏感依赖性；二是临界水平，这里是非线性事件的发生点；三是分形维，它表明有序和无序的统一。混沌系统经常是自反馈系统，出来的东西会回去经过变换再出来，循环往复，没完没了，任何初始值的微小差别都会按指数放大，因此导致系统内在地不可长期预测。
这一节带来的是一个生成混沌离散点集图形的DEMO,里面含有多个不同方程生成的混沌图形.在这个DEMO中,会看到由点集生成的看得出规律的及看不出规律的图形.
下载地址为:http://files.cnblogs.com/WhyEngine/chaos.7z
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在这种离散点集的混沌图形中,使用迭代的方法生成顶点数据:
在中学课本中我们学过，一个一元函数，通常可以表示为： Y=f(x) 这里X是自变量，Y是因变量。
例如： Y=3X+1，如果X=1，那么Y=4；如果X=4，那么Y=13；总之，如果X被确定，那么相应的Y也被确定。
我们用一个抽象的符号F，来表示Y遵循X变化的因果关系。废话连篇的解释是：数字Y随数字X的变化而变化，Y由X来决定，决定的依据是“关系”F。
如果我们利用某个关系函数，比如Y=F（X），代入一个X算出一个Y，又将Y作为新的X再次计算下一个Y………如此不断，这种方法在数学上称为迭代，具体的表达式是： Xn =F(X n-1 )，n=1,2,3……..
学过程序的人一定知道＂费波那齐数列＂，它算是比较典型的Xn =F(X n-1 )方程的例子。不过这种方程不是收敛的，所以它的图形几下就会爆表。
OK，那先帖下我写的有关这种离散方程对象的基类定义代码：
1 #define SET_GET_FLOAT_PROPERTY(name) 2 void Set##name##(float v) 3 { 4 m_##name## = v; 5 } 6 float Get##name##() const 7 { 8 return m_##name##; 9 }
10
11 #define PI 3.14159265f
12
13 // --------------------------------------------------------------------------------------
14
15 class DiscreteEquation
16 {
17 public:
18 DiscreteEquation()
19 {
20 m_StartX = 0.0f;
21 m_StartY = 0.0f;
22
23 m_ParamA = 0.0f;
24 m_ParamB = 0.0f;
25 m_ParamC = 0.0f;
26 m_ParamD = 0.0f;
27 m_ParamE = 0.0f;
28 }
29
30 // 求迭代值
31 virtual void IterateValue(float y, float z, float& outY, float& outZ) const = NULL;
32
33 // 计算点集的Z轴坐标
34 static void CalculatePointsZ(void* curveVerticesPtr, unsigned int stride, unsigned int count, float minZ, float maxZ)
35 {
36 char* zPtr = (char*)curveVerticesPtr + 2*sizeof(float);
37 float zStep = (maxZ - minZ)/(count - 1);
38
39 for (unsigned int i = 0; i < count; i++)
40 {
41 *(float*)zPtr = minZ + i*zStep;
42 zPtr += stride;
43 }
44 }
45
46 // 计算点集的Y轴与X轴坐标
47 virtual void CalculatePointsXY(void* curveVerticesPtr, unsigned int stride, unsigned int count)
48 {
49 char* xPtr = (char*)curveVerticesPtr;
50 char* yPtr = (char*)curveVerticesPtr + sizeof(float);
51
52 float y, x;
53 float nx, ny;
54
55 x = m_StartX;
56 y = m_StartY;
57
58 for (unsigned int i = 0; i < count; i++)
59 {
60 *(float*)xPtr = x;
61 *(float*)yPtr = y;
62
63 IterateValue(x, y, nx, ny);
64
65 x = nx;
66 y = ny;
67
68 xPtr += stride;
69 yPtr += stride;
70 }
71 }
72
73 SET_GET_FLOAT_PROPERTY(StartX);
74 SET_GET_FLOAT_PROPERTY(StartY);
75
76 SET_GET_FLOAT_PROPERTY(ParamA);
77 SET_GET_FLOAT_PROPERTY(ParamB);
78 SET_GET_FLOAT_PROPERTY(ParamC);
79 SET_GET_FLOAT_PROPERTY(ParamD);
80 SET_GET_FLOAT_PROPERTY(ParamE);
81
82 virtual bool IsValidParamA() const {return false;}
83 virtual bool IsValidParamB() const {return false;}
84 virtual bool IsValidParamC() const {return false;}
85 virtual bool IsValidParamD() const {return false;}
86 virtual bool IsValidParamE() const {return false;}
87
88 protected:
89 float m_StartX;
90 float m_StartY;
91
92 float m_ParamA;
93 float m_ParamB;
94 float m_ParamC;
95 float m_ParamD;
96 float m_ParamE;
97 };
每一种混沌点集图形，在程序中都是DiscreteEquation对象的子类．
目前，我已经实现了以下几种混沌方程，将在后来的章节中一一介绍：
（１）Logistic_equation
（２）Henon_equation
（３）Baker_equation
（４）Circuit_Chaotic
（５）Arnold_equation
（６）Standard_equation
（７）Feigenbaum_equation
（８）Biology_Chaotic