最大子矩阵是一种典型的dp问题。某种程度上说是最大连续子序列和问题的扩展。

1081

原题地址

这是最常见的最大子矩阵问题的体型。简单的解决方案就是把列累加，遍历任意两行的累加值的差值，然后就转换成了普通的最大连续子序列和问题。从而将二维问题转换为一维。时间复杂度较高为O(N^3)

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAX=104;
int a[MAX][MAX];
int dp[MAX];
int main()
{
    int n;
    while(~scanf("%d",&n))
    {
        memset(a,0,sizeof a);
        memset(dp,0,sizeof dp);
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                scanf("%d",&a[i][j]);
                a[i][j]+=a[i-1][j];
            }
        }
        int max_sum=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=0; j<i; j++)
            {
                for(int k=1; k<=n; k++)
                {
                    dp[k]=a[i][k]-a[j][k];
                    dp[k]+=dp[k-1];
                    if(dp[k]<0)
                        dp[k]=0;
                    if(dp[k]>max_sum)
                        max_sum=dp[k];
                }
            }
        }
        printf("%d\n",max_sum);
    }
}

在输入矩阵值的时候做了处理，a[i][j]+=a[i-1][j] 使得a矩阵中a[i][k]保存的是原矩阵中第k列元素，从上累加到第i个元素的和。

所以下面的dp[k]=a[i][k]-a[j][k]，dp[k]表示的就是原矩阵第k列中，第i行到第j行的元素和。

三层for循环，前两层循环为遍历任意两行的差值。也就是说遍历子矩阵的首行和尾行的所有情况。

内部第三层for循环，就是一般的求解一维最大连续子序列和的求法。

1559

原题地址

这道题与上题不同，它加了两个限制条件，就是子矩阵的两个维度必须是给定的x，y值。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int MAX=1004;
int a[MAX][MAX];
int dp[MAX];
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        int m,n,x,y;
        memset(a,0,sizeof a);
        scanf("%d%d%d%d",&m,&n,&x,&y);
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                scanf("%d",&a[i][j]);
                a[i][j]+=a[i-1][j];
            }
        }
        int max_sum=0;
        for(int i=x; i<=m; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
            {
                dp[j]=a[i][j]-a[i-x][j];
                dp[j]+=dp[j-1];
                if(j>=y)
                {
                    max_sum=max(max_sum,dp[j]-dp[j-y]);
                }
            }
        }
        printf("%d\n",max_sum);
    }
}

大同小异，关键在于 决策 之时。dp[j]-dp[j-y]表示原矩阵中以（i，j）为右下角元素，行数为x，列数为y的子矩阵和。

hdu1559,1081最大子矩阵和的两种题型