堆--LogN的数据结构

我们这里的堆是指用来表示元素集合的一种数据结构

一个二叉树是一个堆是由堆的两个性质决定的（以小根堆为例）

1：任何节点的值都小于或等于其子节点的值

2：该二叉树最多在两层上具有叶节点，其中最底层的叶节点尽可能的靠左分布

我们可以从数学上约束这两个性质

x[i/2]<=x[i](2<=i<=n)

从这个性质我们可以定义heap(l,u):x[i/2]<=x[i](2l<=i<=u)

下面我们考虑两种情况：

1：当x[1,...n-1]是堆时，在x[n]中放置一个任何的元素可能无法产生heap(1,n)

2：当x[1...n]是一个堆时，给x[1]分配一个新值得到heap(2,n)，如何得到heap(1,n)

现在我们来探讨这两个问题：

x[n]即为图中带圈的元素，该元素一直往上与父节点交换，知道该节点的值大于等于其父节点（或者位于树根）为止

如果过程中heap(1,n-1)为真，那么heap(1,n)为真

void siftup(int n)//sift 筛选
{
    int i=n;
    while(true) {
        if(i==1) break;
        int p=i/2;
        if(x[p]<=x[i]) break;
        swap(i,p);
        i=p;
    }
}

x[1]即为图中带圈的元素，x[1]向下筛选，直到它没有子节点或者小于等于它的子节点

void siftdown(int n)
{
    int i=1;
    while(true) {
        int c=2*i;
        if(c>n) break;//no child node
        if(c+1<=n)//c+1 is the right child,c+1<=n,i has right child
            if(x[c+1]<x[c]) c++;//select lesser one
        //c is the lesser child
        if(x[i]<=x[c]) break;
        swap(c,p);
        i=c;
    }
}

通过解决这两个问题，我们实现了给堆增加一个元素或者删除最小的元素（最小堆）

现在我们考虑用堆的这两个操作来实现另一个数据结构--优先级队列

优先级队列（priority queue） 是0个或多个元素的集合，每个元素都有一个优先权，对优先级队列执行的操作有（1）查找（2）插入一个新元素 （3）删除

一般情况下，查找操作用来搜索优先权最大的元素，删除操作用来删除该元素 。对于优先权相同的元素，可按先进先出次序处理或按任意优先权进行。

如果用我们上面讨论的最小堆来实现的话，那么对应的操作如下：

查找：返回x[1]

插入：插入新元素是将n+1，然后将新元素放在x[n]处，这样我们就具备了调用siftup的前提：heap(1,n-1)

删除：由于是最小堆，x[1]即为优先权最高的元素，删除x[1]，我们可以将x[n]移动到x[1]并将n-1，这样集合中的元素都在x[1..n]中了，并且heap(2,n)为真，那我们就可以调用siftdown了

template<class T>
class priqueue
{
private:
    int n,maxsize;
    T *x;
    void swap(int i,int j){ T t = x[i];x[i]=x[j];x[j]=t;}
public:
    priqueue(int m)
    {
        maxsize=m;
        x= new int[maxsize+1];
        n=0;
    }
    void insert(T t)
    {
        int i,p;
        x[++n]=t;
        for(i=n;i>1 && x[p=i/2]>x[i];i=p) swap(i,p);
    }
    T extractmin()
    {
        int i,c;
        T t = x[1];
        x[1]=x[n--];
        for(i=1;(c=2*i)<=n;i=c)
        {
            if(c+1<=n&&x[c+1]<x[c])
                c++;
            if(x[i]<=x[c]) break;
            swap(i,c);
        }
        return t;
    }
    ~priqueue();

};

优先级队列的实现为我们提供了一种简单的向量排序算法：首先在优先级队列中依次插入每个元素，然后排序删除它们

然而这种想法需要额外的一个数组的内存，但我们分析可知，是可以在一个数组上操作的，想法如下：

第一阶段：在原数组上建立堆，

第二阶段：使用堆来建立有序序列，由于x[1]是最小的元素，交换x[1]和x[n--]，然后把新的顶部元素向下筛选来重新获得堆性质，循环。

不过这样得到的是一个降序的有序序列，如果要得到升序的有序序列，我们要使用最大堆而不是最小堆

下面是实现的最小堆排序的代码：

#include <iostream>
#include "stdlib.h"
#include "time.h"
using namespace std;
int x[101]= {0};
int co=0;
void swap(int f,int s)
{
    int temp=x[f];x[f]=x[s];x[s]=temp;
    co++;
}
void siftup(int n)//sift 筛选
{
    int i=n;
    while(true)
    {
        if(i==1) break;
        int p=i/2;
        if(x[p]<=x[i]) break;
        swap(i,p);
        i=p;
    }
}
void siftdown(int n)
{
    int i=1;
    while(true) {
        int c=2*i;
        if(c>n) break;//no child node
        if(c+1<=n)//c+1 is the right child,c+1<=n,i has right child
            if(x[c+1]<x[c]) c++;//select lesser one
        //c is the lesser child
        if(x[i]<=x[c]) break;
        swap(c,i);
        i=c;
    }
}
int main(int argc, char const *argv[])
{
    srand(unsigned(time(NULL)));
    for(int i=1;i<101;i++)
    {
        x[i]=rand()%100;
        cout<<x[i]<<" ";
    }
    cout<<endl;
    //sort
    for(int i=2;i<=100;i++) siftup(i);
    for(int i=100;i>=2;i--)
    {
        swap(i,1);
        siftdown(i-1);
    }
    for(int i=1;i<101;i++)
    {
        cout<<x[i]<<" ";
    }
    cout<<endl<<co;
    return 0;
}