2242: [SDOI2011]计算器
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Description
你被要求设计一个计算器完成以下三项任务：
1、给定y,z,p,计算Y^Z Mod P 的值；
2、给定y,z,p，计算满足xy≡ Z ( mod P )的最小非负整数；
3、给定y,z,p，计算满足Y^x ≡ Z ( mod P)的最小非负整数。
Input
输入包含多组数据。
第一行包含两个正整数T,K分别表示数据组数和询问类型（对于一个测试点内的所有数据，询问类型相同）。
以下行每行包含三个正整数y,z,p，描述一个询问。
Output
对于每个询问，输出一行答案。对于询问类型2和3，如果不存在满足条件的，则输出“Orz, I cannot find x!”，注意逗号与“I”之间有一个空格。
Sample Input
【样例输入1】
3 1
2 1 3
2 2 3
2 3 3
【样例输入2】
3 2
2 1 3
2 2 3
2 3 3
【数据规模和约定】
对于100%的数据，1<=y,z,p<=10^9，为质数，1<=T<=10。
Sample Output
【样例输出1】
2
1
2
【样例输出2】
2
1
0
题解：这一题考了几个基本的数论算法，1不用多说，2扩展欧几里得求逆元也不多说。
至于3吗，我做这题以前是不知道的，后来才明白这玩意叫做离散对数，查了资料学会了这个东西（我有多弱！！！）
求a^x=b(mod n) 的最小的x的算法（shank的大步小步算法）
令m为n^0.5
我们可以求出a^0,a^1,a^2...a^(m-1) mod n 的值，记为e0,e1,e2,em-1，用map将它们存下来（为了方便之后查询，对每个ei存下它对应的最小的下标i）
求出a^m模n的逆元v
那么如果a^(k*m+0),a^(k*m+1),a^(k*m+2)...a^(k*m+m-1)模m余b（k从0到m-1），等价于
a^0=b*(v^(k*m))(mod n)
a^1=b*(v^(k*m))(mod n)
...
a*(m-1)=b*(v^(k*m))(mod n)
这样我们只要枚举k，然后在map中查询b*(v^(k*m))是否存在，若存在，用它在map中对应的i得到答案k*m+i。
这样做的时间复杂度是O(n^0.5log(n))考虑到题目数据最多十组，应该不会超时。
1 #include <iostream>
2 #include <cmath>
3 #include <map>
4 using namespace std;
5 typedef long long LL;
6 int T,k;
7 LL mul_mod(LL a,LL b,LL n){
8 return a*b%n;
9 }
10 LL pow_mod(LL a,LL p,LL n){
11 if (p==0) return 1;
12 LL ans=pow_mod(a,p/2,n);
13 ans=ans*ans%n;
14 if (p&1) ans=ans*a%n;
15 return ans;
16 }
17 LL gcd(LL a,LL b){
18 return (b==0)?a:(gcd(b,a%b));
19 }
20 void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
21 if (b==0) {x=1;y=0;return ;}
22 else {exgcd(b,a%b,y,x);y=y-(a/b)*x;}
23 }
24 LL inv(LL a,LL n){
25 LL x,y;
26 exgcd(a,n,x,y);
27 return (x+n)%n;
28 }
29 LL log_mod(LL a,LL b,LL n){
30 LL m,v,e=1,i;
31 m=((int)sqrt(n)) +1;
32 if (gcd(a,n)!=1) return -1;
33 v=inv(pow_mod(a,m,n),n);
34 map <int,int> x;
35 x[1]=0;
36 for (i=1;i<m;i++){
37 e=mul_mod(e,a,n);
38 if (!x.count(e)) x[e]=i;
39 }
40 for (i=0;i<m;i++){
41 if (x.count(b)) return i*m+x[b];
42 b=mul_mod(b,v,n);
43 }
44 return -1;
45 }
46 int main(){
47 cin>>T>>k;
48 LL y,z,p,t;
49 while (T--){
50 cin>>y>>z>>p;
51 switch (k) {
52 case 1:
53 cout<<pow_mod(y,z,p)<<endl; break;
54 case 2:{
55 LL g=gcd(y,p);
56 if (z%g!=0) cout<<"Orz, I cannot find x!"<<endl;
57 else {
58 y/=g;p/=g;z/=g;
59 cout<<mul_mod(inv(y,p),z%p,p)<<endl;
60 }
61 break;
62 }
63 case 3:if ((t=log_mod(y,z,p))==-1) cout<<"Orz, I cannot find x!"<<endl;
64 else cout<<t<<endl;
65 break;
66 }
67 }
68 return 0;
69 }