uva 10213 How Many Pieces of Land （欧拉公式计算多面体）

题意：在一个圆上取n个点，求最多能将圆分为多少块；

思路：欧拉公式计算多面体；

欧拉公式：简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E之间的关系为V+F-E=2;

首先考虑点数v，有n个在圆上的点，任取一点x，考虑与x相连的每条对角线，假设对角线左边有i个顶点，则右边应有（n-2-i）个顶点，这些顶点相互连接可以产生i*(n-i-2)个顶点，再将所有的x与所有的对角线l求和。每个交点分别算了4次（一个交点由两条线产生，有4个圆上的点会计算到），除以4：

V=n+n/4*(西格玛i=1到n-3) i*(n-i-2);

然后考虑边数E，有n条边在圆上（圆弧），有n条边为相邻两点所形成，上面并没有交点，对于其他的边，若该边上有 i*(n-i-2) 个交点，则其被划分成 i*(n-i-2)+1条线段，而每条这样的线段在求和中会被原对角线的两个交点各算一次，所以还要除以2,：

E=2*n+n/2*(西格玛i=1到n-3)[i*(n-i-2)+1];

使用平方和公式将上面两个式子代入欧拉公式，然后扣除最外层无限大的那个面，可得：

F=(n^4-6*n^3+23*n^2-18*n)/24+1;

F可能超出任何整数类型允许的范围，需要采用高精度运算。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<string>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long int64;
int64 m=1e8;
struct Bigint{
    int64 s[50];
    int l;
    void print(){           //输出
        printf("%lld",s[l]);
        for(int i=l-1;i>=0;i--) printf("%08lld",s[i]);
    }
    void read(int64 x){     //转为整数数组
        l=-1;
        memset(s,0,sizeof(s));
        do{
            s[++l]=x%m;
            x/=m;
        }while(x);
    }
}ans,tmp,t2;
Bigint operator +(Bigint a,Bigint b){  //大数相加
    int64 d=0;
    a.l=max(a.l,b.l);
    for(int i=0;i<=a.l;i++){
        a.s[i]+=d+b.s[i];
        d=a.s[i]/m;
        a.s[i]%=m;
    }
    if(d) a.s[++a.l]=d;
    return a;
}
Bigint operator -(Bigint a,Bigint b){   //大数相减
    int64 d=0;
    for(int i=0;i<=a.l;i++){
        a.s[i]-=d;
        if(a.s[i]<b.s[i]) a.s[i]+=m,d=1;
        else d=0;
        a.s[i]-=b.s[i];
    }
    while(a.l&&!a.s[a.l]) a.l--;
    return a;
}
Bigint operator *(int b,Bigint a){     //小数乘大数
    int64 d=0;
    for(int i=0;i<=a.l;i++){
        d+=a.s[i]*b;
        a.s[i]=d%m;
        d/=m;
    }
    while(d){
        a.s[++a.l]=d%m;
        d/=m;
    }
    return a;
}
Bigint operator /(Bigint a,int b){       //大数除小数
    int64 d=0;
    for(int i=a.l;i>=0;i--){
        d*=m;
        d+=a.s[i];
        a.s[i]=d/b;
        d%=b;
    }
    while(a.l&&!a.s[a.l]) a.l--;
    return a;
}
Bigint operator *(Bigint a,Bigint b){   //大数相乘
    Bigint c;
    memset(c.s,0,sizeof(c.s));
    for(int i=0;i<=a.l;i++){
        for(int j=0;j<=b.l;j++){
            c.s[i+j]+=a.s[i]*b.s[j];
            if(c.s[i+j]>m){
                c.s[i+j+1]+=c.s[i+j]/m;
                c.s[i+j]%=m;
            }
        }
    }
    c.l=a.l+b.l+10;
    while(!c.s[c.l]&&c.l) c.l--;
    while(c.s[c.l]>m){
        c.s[c.l+1]+=c.s[c.l]/m;
        c.s[c.l++]%=m;
    }
    return c;
}
int v;
void work(){
    ans.read(v);
    tmp.read(24);//将24转化为整数数组
    ans=ans*ans*ans*ans+23*(ans*ans)+tmp-6*(ans*ans*ans)-18*ans;
    ans=ans/24;
    ans.print();
    printf("\n");
}
int main(){
    int cas;
    scanf("%d",&cas);
    while(cas--){
        scanf("%d",&v);
        work();
    }
    return 0;
}