网络流/最小割/最大权闭合图
2333好开心，除了一开始把$500^2$算成25000……导致数组没开够RE了一发，可以算是一次AC~
咳咳还是回归正题来说题解吧：
一拿到这道题，我就想：这是什么鬼玩意……矩阵乘法早忘了……画了半天也想不起来到底是谁乘谁，只记得有个式子：$c[i][j]=\sum a[i][k]*b[k][j]$
好吧没关系，既然画图不行了，我们就先拿这个东西，纯代数来搞！
D的表达式，里面那层我们可以写成：$\sum a[i][k]*b[k][j] - c[i][j]$
然而a和c都是1*N的矩阵，简化一下，我们得到：$$ \sum a[k]*b[k][j]-c[j]$$
所以我们把D的表达式转化一下，发现可以把c[j]提出来：$$ \begin{aligned} D&=\sum_{j=1}^n \big ( \sum_{k=1}^n a[k]*b[k][j]-c[j] \big )*a[j] \\ &=\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n a[j]*a[k]*b[k][j]-\sum_{k=1}^n a[j]*c[j] \end{aligned} $$
这时我们发现：b[j][k]和c[j]前面分别乘了一或两个0/1变量……感觉像什么……最大权闭合图对不对……同时选了 j 和 k 的话可以得到b[j][k]的收益，但是选 j 得付出c[j]的代价！
这时候我们就可以轻松+愉快的进行建图……
好久没写过网络流了，一次写对Dinic还是蛮感动的
1 /**************************************************************
2 Problem: 3996
3 User: Tunix
4 Language: C++
5 Result: Accepted
6 Time:584 ms
7 Memory:29152 kb
8 ****************************************************************/
9
10 //BZOJ 3996
11 #include<queue>
12 #include<cstdio>
13 #include<cstring>
14 #include<cstdlib>
15 #include<iostream>
16 #include<algorithm>
17 #define rep(i,n) for(int i=0;i<n;++i)
18 #define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;++i)
19 #define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;--i)
20 #define pb push_back
21 using namespace std;
22 typedef long long LL;
23 inline int getint(){
24 int r=1,v=0; char ch=getchar();
25 for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if (ch==‘-‘) r=-1;
26 for(; isdigit(ch);ch=getchar()) v=v*10-‘0‘+ch;
27 return r*v;
28 }
29 const int N=300010,M=1000010,INF=1e9;
30 /*******************template********************/
31 int n,ans;
32 struct edge{int to,v;};
33 struct Net{
34 edge E[M<<1];
35 int head[N],next[M<<1],cnt;
36 void ins(int x,int y,int z){
37 E[++cnt]=(edge){y,z}; next[cnt]=head[x]; head[x]=cnt;
38 }
39 void add(int x,int y,int z){ins(x,y,z); ins(y,x,0);}
40 int d[N],S,T,cur[N];
41 queue<int>Q;
42 bool mklevel(){
43 memset(d,-1,sizeof d);
44 d[S]=0;
45 Q.push(S);
46 while(!Q.empty()){
47 int x=Q.front(); Q.pop();
48 for(int i=head[x];i;i=next[i])
49 if (d[E[i].to]==-1 && E[i].v){
50 d[E[i].to]=d[x]+1;
51 Q.push(E[i].to);
52 }
53 }
54 return d[T]!=-1;
55 }
56 int dfs(int x,int a){
57 if (x==T) return a;
58 int flow=0;
59 for(int &i=cur[x];i && flow<a;i=next[i])
60 if (d[E[i].to]==d[x]+1 && E[i].v){
61 int f=dfs(E[i].to,min(E[i].v,a-flow));
62 E[i].v-=f;
63 E[i^1].v+=f;
64 flow+=f;
65 }
66 if (!flow) d[x]=-1;
67 return flow;
68 }
69 void Dinic(){
70 while(mklevel()){
71 F(i,S,T) cur[i]=head[i];
72 ans-=dfs(S,INF);
73 }
74 }
75 void init(){
76 cnt=1; ans=0;
77 n=getint(); S=0; T=n*(n+1)+1;
78 int x;
79 F(i,1,n) F(j,1,n){
80 x=getint();
81 add(i*n+j,T,x);
82 add(i,i*n+j,INF);
83 add(j,i*n+j,INF);
84 ans+=x;
85 }
86 F(i,1,n){
87 x=getint();
88 add(S,i,x);
89 }
90 Dinic();
91 printf("%d\n",ans);
92 }
93 }G1;
94 int main(){
95 #ifndef ONLINE_JUDGE
96 freopen("3996.in","r",stdin);
97 freopen("3996.out","w",stdout);
98 #endif
99 G1.init();
100 return 0;
101 }
3996: [TJOI2015]线性代数
Time Limit: 10 Sec Memory Limit: 128 MB
Submit: 590 Solved: 414
[Submit][Status][Discuss]
Description
给出一个N*N的矩阵B和一个1*N的矩阵C。求出一个1*N的01矩阵A.使得
D=（A*B-C）*A^T最大。其中A^T为A的转置。输出D
Input
第一行输入一个整数N，接下来N行输入B矩阵，第i行第J个数字代表Bij.
接下来一行输入N个整数，代表矩阵C。矩阵B和矩阵C中每个数字都是不超过1000的非负整数。
Output
输出最大的D
Sample Input
3
1 2 1
3 1 0
1 2 3
2 3 7
Sample Output
2
HINT
1<=N<=500