如何轻松干掉svd(矩阵奇异值分解),用代码说话

　　　　svd我认识我机器学习里面最扯淡的玩意了。尼玛。老实说，好多机器学习的书老是在扯svd有多高端，然后看了netflix电影推荐大赛，哇塞，冠军队就是用svd+做的。然后狠狠的下载了所有他们的论文，硬是没看明白。后来居然对svd有恐惧感。感觉这个玩意好高端似的。你看他啊，它能提高预测精度，它好像是万能的，能降维，什么比赛有事没事都要扯扯svd。后来看Kaggle上的比赛，有个walmat仓储量预测大赛，也是对数据先用svd预处理。

　　　　回去下载了好多svd论文看，搞了好久都没搞明白。他们都是说自己如何使用svd的。但是到底svd是个啥玩意，讲的就玄乎了。

　　　他把一个大的矩阵分解成了一些小矩阵相乘，如这博客里讲的：http://blog.csdn.net/wangran51/article/details/7408414

：：：：-------------------------分割线----------我所不喜欢的-------------------------------------------

　　奇异值分解

上面讨论了方阵的分解，但是在LSA中，我们是要对Term-Document矩阵进行分解，很显然这个矩阵不是方阵。这时需要奇异值分解对Term-Document进行分解。奇异值分解的推理使用到了上面所讲的方阵的分解。

假设C是M x N矩阵，U是M x M矩阵，其中U的列为CC^T的正交特征向量，V为N x N矩阵，其中V的列为C^TC的正交特征向量，再假设r为C矩阵的秩，则存在奇异值分解：

其中CC^T和C^TC的特征值相同，为

Σ为M X N，其中，其余位置数值为0，的值按大小降序排列。以下是Σ的完整数学定义：

σ_i称为矩阵C的奇异值。

用C乘以其转置矩阵C^T得：

上式正是在上节中讨论过的对称矩阵的分解。

奇异值分解的图形表示：

从图中可以看到Σ虽然为M x N矩阵，但从第N+1行到M行全为零，因此可以表示成N x N矩阵，又由于右式为矩阵相乘，因此U可以表示为M x N矩阵，V^T可以表示为N x N矩阵

-------------------------分割线----------我找了好多资料，都是这样讲的。尼玛---------------------------------------------

我看这些玩意，我总感觉好高端啊，一个矩阵他就是把他分解成了这么多小矩阵，而且还保证这些小矩阵的乘积等于原来的矩阵。真是奇妙。这样要我用代码实现，怎么实现。

然后找了不少博客，都在瞎鸡巴扯svd可以放在推荐系统啦，U矩阵就是用户的特性啦，V矩阵就是电影的特性啦，好牛逼高端的，还可以用在自然语言处理中。

然并卵。一头雾水。

我想告诉大家。svd是一个任何大学本科生都会做的事情，你知道他干了什么吗？

下面 我给你们先轻松讲述，随后奉上python版代码：

当一个矩阵是方阵的时候，他是可以做特征分解的。就是线性代数里面老考的那玩意。拿个方阵你来求特征值特征向量啦，当他有n个线性无关的特征向量的时候，这个方阵就可以相似对角化为一个对角矩阵，如果

他的线性无关的特征向量少于n.他就只能规范化为约当块(jadom 块）。

那么，问题来了，什么是svd?

当一个矩阵A不是方阵的时候，你就不能将它对角化，但是：

A和A的转置特征值特征向量是一样的。这就有的玩了。我先求A*A的转置。假设求出来的矩阵是W，它绝对是一个方阵。那么好了，我求这个方阵的特征向量，然后对它做特征分解，将它化为一个对角矩阵。

那么A的特征值其实就是S特征值开根号。当然嘛。|A|就是等于特征值相乘的，|S|就是|A|的平方。而A和A的转置特征向量相同。那不就求出了svd分解里的对角阵么。

接下来求那写用户属性特征向量和电影属性特征向量。其实就是求S的特征向量，然后做点矩阵乘法就可以了。留点悬念，请看代码：