vijosP1543 极值问题

链接：https://vijos.org/p/1543

【题解】（网上）

从简单情况人手：
    设定m＝1，将m代人方程②有(n²-n-1)²=1，可求出n=1；
         m＝2，代人②，有(n²-2n-4)²=1，可求出n=3；
         m＝3，代人②，有(n²-3n-9)²=1，可求出n=5；
         m＝4，代人②，有(n²-4n-16)²=1，可知无整数解；
         m＝5，代人②，有(n²-5n-25)²=1，可求出n=8；
    将满足条件的m，n排列在一起，有：1 2 3 5 8…
    看到上述数列，熟悉Fibonacci数列的应该有些面熟，于是就可以猜测，m，n是否为Fibonacci数列中相邻的两项，提出这样的猜想之后，就可以再次设定m=8，可求出n正好等于13，可见猜想成立。提出猜想之后，就应该想办法证明这一猜想。事实上，对条件②的等式进行一些数学变换：
    (n²-mn-m²)²=[-(n+m)²+2n²+mn]²=[(n+m)²-n(n+m)-n²]² =[(n‘)²-m‘n‘-(m‘)²]²
    其中：n‘=m+n，m‘=n
    由上述数学变换可以得出，若m和n为满足条件的一组解，则m‘和n‘也是满足条件的一组解。通过上述证明可知，m，n的确是满足Fibonacci数列的相邻两项，即猜想得以证明。再加上题设中要求使得m²+n²的值最大的条件，可知问题的解即为Fibonacci数列中小于k的最大两个相邻数。
    由此可见，上述例题的求解方法正是归纳策略一般所要求的三个步骤：从简单情况人手、寻找规律、提出猜想和验证猜想。

【代码】

 1 #include<iostream>
 2 using namespace std;
 3
 4 int main() {
 5     long long k,f1,f2,f3,tmp,ans;
 6     cin>>k;
 7     f1=1; f2=1; f3=2;
 8     while(f3<=k) {
 9         tmp=f2+f3;
10         f1=f2; f2=f3;
11         f3=tmp;
12     }
13     cout<<(long long)(f2*f2+f1*f1);
14     return 0;
15 }