今天我们分享一下树状数组，前置知识-了解树的结构，知道什么是左右儿子，各个节点的名称，也就是有点基础吧。今天以一个实际问题引出树状数组吧，中查询l-r的区间。（以B站大佬的课件为例子，可以关注下，在最后放上链接）
如果是暴力的话，显然时间复杂度是接受不了的（o(n方)),为了解决这个问题，我们就要用一些高级的数据结构。就是我们今天介绍的树状数组。
首先看下树状数组是什么，
树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的所有元素之和，但是每次只能修改一个元素的值；经过简单修改可以在log(n)的复杂度下进行范围修改，但是这时只能查询其中一个元素的值(如果加入多个辅助数组则可以实现区间修改与区间查询)。
这种数据结构（算法）并没有C++和Java的库支持，需要自己手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被广泛的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不一定能解决。相比较而言，树状数组效率要高很多。(百度上的）
然后在介绍前缀和，b[1] = a[1],b[2] = a[1] + a[2],b[3] = a[1] + a[2] +a[3]........b[n] = a[1] + a[2] + a[3] + ..... + a[n].这就是前缀和的概念，其实树状数组就是在维护一个前缀和。
再介绍lowbit函数，用于再左右儿子或者是父节点，伪代码为 return x & (-x),就是返回某个数二进制从右往左的第一个一所代表的数，x于lowbit函数的关系如下、
一个左儿子的父节点表示为x + lowbit(x),同理右儿子的父亲表示为 x - lowbit(x),把图画出来，是不是很像二叉搜索树，
最后，给个树状数组的模板题吧，
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某区间每一个数加上x
2.求出某区间每一个数的和
输入输出格式
输入格式：
第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。
接下来M行每行包含3或4个整数，表示一个操作，具体如下：
操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k
操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和
输出格式：
输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。（洛谷的题，https://www.luogu.org/problemnew/show/P3372）
输入样例
5 5
1 5 4 2 3
2 2 4
1 2 3 2
2 3 4
1 1 5 1
2 1 4
输出样例
11
8
20
附上AC代码
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e7 + 5;
int n,m,a;
int d[N]; //存前缀和的数组
int lowbit(int x)
{
return x & (-x);
}
int query(int x) //查询操作
{
int res = 0;
while(x) //x > 0,x从左边找父亲节点相加
{
res += d[x];
x -= lowbit(x);
}
return res;
}
void add(int x,int val)
{
while(x <= n)
{
d[x] += val;
x += lowbit(x); //从左到右构建树状数组
}
}
int sum(int x)
{
int total = 0;
while(x != 0)
{
total += d[x];
x -= lowbit(x);
}
return total;
}
int main()
{
cin >> n >> m;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
cin >> a;
add(i,a);
}
while(m--)
{
int f,x,y;
cin >> f >> x >> y;
if(f == 1)
{
add(x,y);
}
if(f == 2)
{
cout << sum(y) - sum(x - 1) << endl;
}
}
return 0;
}
最后的最后附上B站大佬的链接，https://www.bilibili.com/video/av36663299?from=search&seid=7911780148837730858
原文地址：https://www.cnblogs.com/gauss191/p/10546255.html