HDU4152-Happy 2004-积性函数和快速幂乘

题目链接http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1452

本题主要是积性函数和快速幂乘的运用。

下面主要介绍一下积性函数：

积性函数是描述因子和的一种关系：

6的因子是1,2,3,6;   6的因子和是 s(6)=1+2+3+6=12;

20的因子是1,2,4,5,10,20;   20的因子和是 s(20)=1+2+4+5+10+20=42;

2的因子是1,2; 2的因子和是 s(2)=1+2=3;

3的因子是1,3; 3的因子和是 s(3)=1+3=4；

4的因子和是 s(4)=1+2+4=7;

5的因子和是 s(5)=1+5=6;

s(6)=s(2)*s(3)=3*4=12;

s(20)=s(4)*s(5)=7*6=42;

再看 s(50)= 1+2+5+10+25+50=93=3*31=s(2)*s(25),s(25)=1+5+25=31.

这在数论中叫积性函数。

当gcd(a,b)=1时 s(a*b)=s(a)*s(b)

如果p是素数

s(p^n)=1+p+p^2+...+p^n= (p^(n+1)-1) /(p-1) (1)

本题要计算的是： s(2004^X) mod 29 ,

2004=2^2 *3 *167

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(167^X)))

167%29=22

s(2004^X) ) = (s(2^2X))) * (s(3^X))) * (s(22^X)))

a=s(2^2X)=(2^(2X+1)-1)% //根据 （1）

b=s(3^X)= (3^(X+1)-1)/2 //根据 （1）

c=s(22^X)= (22^(X+1)-1)/21 //根据 （1）

(a/b) %p= ( a *b^(-1)%p)（2）

b^(-1)是 b的逆元素

1的逆元素是1；

2的逆元素是15，因为2*15=30 % 29=1 % 29=1；

21的逆元素是18 ，因为21*18=378% 29 =1 % 29=1；

因此：

a=（pow(2,2*x+1,29)-1）；//根据 （2）

b=(pow(3,x+1,29)-1)*15; //根据 （2）

c=(pow(22,x+1,29)-1)*18 ; //根据 （2）

即：下面计算pow快速幂乘的值。

int pow(int a,int b)

{

int sum=1;

while(b)

{

if(b&1)

sum=sum*a%29;

b>>=1;

a=a*a%29;

}

return sum;

}

附代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int pow(int a,int b)
{
	int sum=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)
		  sum=sum*a%29;
		b>>=1;
		a=a*a%29;
	}
	return sum;
}
int main()
{
	int n;
	while(~scanf("%d",&n),n)
	{
		int a,b,c;
		a=(pow(2,2*n+1)-1);
        <span style="white-space:pre">	</span>b=(pow(3,n+1)-1)*15;
       <span style="white-space:pre">		</span>c=(pow(22,n+1)-1)*18;
        <span style="white-space:pre">	</span>printf("%d\n",(((a*b)%29)*c)%29);
	}
	return 0;
 } 

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