浅析红黑树

一、什么是红黑树？？？

红黑树首先是一棵搜索二叉树，树中的每一个结点的颜色不是黑色就是红色。它的特性如下：

1、根节点是黑色

2、每一个结点不是黑色就是红色

3、不能有连续的两个红色结点

4、从任意一个结点出发，到后代中空指针的路径上，均包含相同数量的黑色结点。

例如：

二、为什么要有红黑树？？？

最开始我们学习了搜索二叉树，但是最后我们发现搜索二叉树有缺陷，之后我们又引入了AVL树。AVL树是一种高度平衡的二叉搜索树，能够满足增删查都是O(logN)的时间复杂度。既然AVL树已经满足了我们的期望，那么为什么还要引入红黑树呢？

这是由于AVL树是高度平衡的二叉搜索树，维持一颗AVL树的代价相比于红黑树来说是非常大的，由于它的高度平衡，使得它几乎每次插入或者删除都需要调整树。而红黑树是一种近似平衡的二叉搜索树，它满足最长路径不超过最短路径的两倍，而且它易于维护，在插入的时候也不是每次都需要调整树。

虽然红黑树整体性能上较AVL树能差一点，但是也不是差的太多，而且红黑树胜在易于维护，所以折中下来红黑树还是用的比较多的。

三、插入

一般情况下，我么将要插入的结点都默认设置成红色的。

1、如果插入的结点是根节点，则直接插入，并且将根节点染成黑色。

2、如果要插入的位置的父亲是黑色的，那么直接插入。

3、要插入的位置的父亲是红色的，这时再插入一个红色结点就会出现两个红色结点连续的情况，所以这时候我们就要调整树来重新恢复平衡。假设要插入的结点是cur，它的父亲是parent，它父亲的兄弟是uncle，它的祖父是grand。

情况1:

因为cur的父亲是红色结点，根据红黑树的性质可知，grand一定不为空，且一定是黑色。假设在这种情况下cur的叔叔uncle是红色的。

情况2:

假设cur的叔叔结点不存在或者存在且是黑色的。

1、假设cur是parent的左子女，parent是grand的左子女，这时候只要做一次右单旋就平衡了。

2、cur是parent的右子女，parent是grand的做子女，这时对parent进行一次左旋转转换成上面右单旋的情况。

当然，假设parent是grand的右孩子，uncle是grand的左孩子，与上面的情况是镜像的，只要左右指针互换即可。

四、删除

红黑树的删除算法与二叉搜索树的删除算法类似，但是红黑树在删除之后还要再恢复树的平衡。首先我们要找到要删除的结点，如果要删除的结点有两个孩子，那么我们要在他的右子树寻找最左孩子，与他进行交换，然后将要删除的结点转换成这个最左结点。下面重点讲一下删除之后怎么恢复树的平衡，注意下面这些操作都是建立在要删除的结点的左孩子和右孩子至少有一个为空的情况下。

1、删除的结点是红色的，则直接删除，不会影响到树的平衡。

2、如果要删除的结点是黑色的，但是他的孩子是红色的，则直接删除这个结点，再把他的孩子变为黑色的。这样的话树的平衡也没有被改变。

在这种情况下如果要删除的结点是根节点要特殊处理，且只有以下两种情况：

3、要删除的结点是黑色的，他的孩子也是黑色的，这时又分为一下几种情况，假设要删除的结点是它父亲的右孩子，他的父亲是parent，它的兄弟是subL，他的孩子是cur。

情况1:如果subL是红色的，则parent一定是黑色的，而且subL的孩子也一定是黑色的。对parent进行右旋，然后再把subL染成黑色，再把parent染成红色。

情况2：subL是黑色的情况下，根据subLL与subLR又分为一下情况

1、如果subLL与subLR都是黑色的

1.1、如果parent是红色的

1.2、如果parent是黑色的

2、subLL是红色的，subLR的颜色任意

3、subLR是红色，subLL的颜色是黑色

当然，如果要删除的结点在父亲结点的左边，与上面的分析结果是镜像的，只需要调换一下左右指针就行了。

五、写一个函数IsBlance判断一颗红黑树是不是合法的红黑树

用红黑树的定义区判断能够简单一点，判断红黑树的定义是不是都满足。

//源代码

#pragma once

enum {BLACK,RED};

template<typename K,typename V>
struct RBTreeNode
{
	int _color;
	K _key;
	V _value;
	RBTreeNode<K, V> *_left;
	RBTreeNode<K, V> *_right;
	RBTreeNode<K, V> *_parent;
	RBTreeNode(K key, V value)
		:_color(RED)               //默认结点是红色
		, _key(key)
		, _value(value)
		, _left(NULL)
		, _right(NULL)
		, _parent(NULL)
	{}

};

template<typename K,typename V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K, V> Node;
public:
	RBTree()
		:_root(NULL)
	{}

	RBTree(const RBTree<K, V>& tree)
	{
		_Copy(tree._root, _root);
	}

	RBTree<K, V>& operator=(const RBTree<K, V>& tree)
	{
		if (this != &tree)
		{
			RBTree<K, V> tmp(tree);
			swap(_root, tmp._root);
		}
		return *this;
	}

	~RBTree()
	{
		_Destory(_root);
	}

	bool Find(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
				cur = cur->_left;
			else if (cur->_key < key)
				cur = cur->_right;
			else
				return true;
		}
		return false;
	}

	bool Insert(const K& key, const V& value)
	{
		if (_root == NULL)    //如果插入的结点是根节点
		{
			_root = new Node(key, value);
			_root->_color = BLACK;
			return true;
		}
		Node* cur = _root;
		Node* parent = NULL;
		while (cur)
		{
			if (cur->_key > key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_key < key)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
				return false;                //要插入的结点已经存在
		}
		cur = new Node(key, value);
		if (parent->_key>key)
			parent->_left = cur;
		else
			parent->_right = cur;
		cur->_parent = parent;

		while (cur != _root&&parent->_color == RED)      //父节点是红色的需要调整
		{
			Node* grand = parent->_parent;      //找到祖父结点
			if (parent == grand->_left)
			{
				Node* uncle = grand->_right;     //找到叔叔结点
				if (uncle&&uncle->_color == RED)      //叔叔结点是红色
				{
					grand->_color = RED;
					parent->_color = BLACK;
					uncle->_color = BLACK;
					cur = grand;
					parent = cur->_parent;      //红色结点上移，需要继续判断
				}
				else            //叔叔结点不存在或为黑色结点
				{
					//先处理双旋的情况
					if (cur == parent->_right)    //如果cur是父亲的右孩子
					{
						RotateL(parent);         //先对parent进行左旋
						parent = cur;
					}

					//如果cur是parent的右孩子，则经过旋转之后现在就变成了以grand右旋的情况
					RotateR(grand);        //对祖父结点进行右旋
					parent->_color = BLACK;
					grand->_color = RED;
					break;      //这时候就已经平衡了
				}
			}
			else
			{
				Node* uncle = grand->_left;
				if (uncle&&uncle->_color == RED)     //如果叔叔存在且为红色
				{
					parent->_color = BLACK;
					uncle->_color = BLACK;
					grand->_color = RED;        //红色结点上移，继续向上判断
					cur = grand;
					parent = cur->_parent;
				}
				else
				{
					//如果cur是parent的左孩子，则需要先进行右旋将双旋转换成左旋的情况
					if (cur == parent->_left)
					{
						RotateR(parent);
						parent = cur;
					}

					//在对祖父进行左旋
					RotateL(grand);
					parent->_color = BLACK;
					grand->_color = RED;
					break;
				}
			}
		}
		_root->_color = BLACK;     //把根节点置成黑色
		return true;
	}

	bool Remove(const K& key)
	{
		Node* cur = _root;
		Node* parent = NULL;
		Node* del = NULL;

		while (cur)            //寻找要删除的结点
		{
			if (cur->_key > key)
				cur = cur->_left;
			else if (cur->_key < key)
				cur = cur->_right;
			else
				break;
		}

		if (cur == NULL)
			return false;           //没找到结点，删除失败
		//如果要删除的结点有两个孩子,则先转化成只有一个孩子或者没有孩子的情况
		if (cur->_left != NULL&&cur->_right != NULL)
		{
			Node* minRight = cur->_right;       //记录要删除的结点在的右子树的最左结点
			while (minRight->_left)
			{
				minRight = minRight->_left;
			}

			//采用交换删除
			cur->_key = minRight->_key;
			cur->_value = minRight->_value;

			cur = minRight;         //cur指向要删除的结点
		}
		parent = cur->_parent;       //找到要删除的结点的父亲
		del = cur;                   //del指向要删除的结点
		if (cur->_left == NULL)        //要删除的结点的左孩子为空或者不存在
		{
			if (cur == _root)           //如果要删除的结点是根节点，则删除之后就已经平衡
			{
				_root = cur->_right;
				if (cur->_right)                  //如果根节点的右孩子不为空的话，则它一定是红色
				{
					_root->_parent = NULL;
					_root->_color = BLACK;
				}
				delete del;
				return true;
			}
			//将要删除的结点的孩子链接到要删除的结点的父亲下面
			if (parent->_left == cur)             //cur是parent的左孩子,要删除的结点不是根节点，则一定有父亲
				parent->_left = cur->_right;
			else                                  //cur是parent的右孩子，要删除的结点不是父亲，则一定有父亲
				parent->_right = cur->_right;
			if (cur->_right)                        //如果要删除的不是叶子结点的话
				cur->_right->_parent = parent;
			cur = del->_right;                   //让cur指向要删除结点的孩子
		}
		else
		{
			if (cur == _root)          //要删除的结点是根节点,则根节点的左子树一定存在
			{
				_root = cur->_left;
				_root->_parent = NULL;
				_root->_color = BLACK;       //根节点的左孩子不为空的话它一定是红色
				delete del;
				return true;
			}
			if (parent->_left == cur)                     //要删除的不是根节点，则parent一定存在
				parent->_left = cur->_left;
			else
				parent->_right = cur->_left;
			cur->_left->_parent = parent;             //cur的左孩子一定存在
			cur = del->_left;                        //让cur指向要删除结点的孩子
		}

		if (del->_color == RED)           //如果要删除的结点就是红色的，则删除后已经平衡
		{
			delete del;
			return true;
		}

		if (del->_color == BLACK&&cur&&cur->_color == RED)   //如果要删除的结点是黑色的，且它的孩子是红色的，将孩子改为黑色就平衡了
		{
			cur->_color = BLACK;
			delete del;
			return true;
		}

		//要删除的结点是黑色的，且它的孩子为NULL或者是黑色的
		while (parent)
		{
			if (parent->_left == cur)            //如果要删除的结点是父亲结点的左孩子
			{
				Node* subR = parent->_right;       //subR是parent的右孩子,且一定存在
				if (subR->_color == RED)       //parent的右孩子是红色的
				{
					RotateL(parent);          //对parent进行左旋，旋转之后染色，因为cur路径上仍然少一个结点，所以继续检索cur
					parent->_color = RED;
					subR->_color = BLACK;
				}
				else                            //如果subR是黑色的
				{
					Node* subRL = subR->_left;
					Node* subRR = subR->_right;

					if (parent->_color == BLACK &&
						((subRL == NULL&&subRR == NULL) ||
						(subRL&&subRR&&subRL->_color == BLACK&&subRR->_color == BLACK)))       //如果parent以及subR和subR的孩子都为空
					{
						subR->_color = RED;     //使得subR这条路径上减少一个黑色结点，再判断向上parent
						cur = parent;
						parent = cur->_parent;
					}
					else
					{
						if (parent->_color == RED)            //如果父节点是红色
						{
							if ((subRL == NULL&&subRR == NULL) ||
								(subRL&&subRR&&subRL->_color == BLACK&&subRR->_color == BLACK))
							{
								parent->_color = BLACK;         //将父节点变为黑色
								subR->_color = RED;             //右孩子变为红，相当于在cur这条路径上曾加了一个黑色
								break;            //满足平衡，直接退出
							}
						}

						if (subRL->_color = RED)        //如果subRL为红色，先对subR进行右旋转换为左单选的情况
						{
							RotateR(subR);
							subR = subRL;                //让subR指向旋转之后新的父节点
						}

						//到这就是左单旋的情况
						RotateL(parent);           //对parent进行做单选
						if (parent->_color == RED)   //将旋转之后新的父节点subR变为与原来父节点一样的颜色
							subR->_color = RED;
						else
							subR->_color = BLACK;

						parent->_color = BLACK;       //将原来父节点染成黑色的
						subR->_right->_color = BLACK;   //因为subR的右子树上少了一颗黑色结点，所以要将红色染黑
						break;            //树已经平衡
					}
				}
			}
			else
			{
				Node* subL = parent->_left;       //要删除的结点在parent的右子树，且一定存在
				if (subL->_color == RED)       //parent的左孩子是红色的，则通过旋转让parent左右两边黑色结点个数相对
				{
					RotateR(parent);        //让paret右旋
					//让左右两边黑色结点相同，都少一个结点，再继续判断cur，
					parent->_color = RED;
					subL->_color = BLACK;
				}
				else             //如果parent的左孩子是 黑色的
				{
					Node* subLR = subL->_right;
					Node* subLL = subL->_left;
					//如果父节点与subL的孩子都是黑色的,subLL的孩子要么全为空，要么全为黑
					if (parent->_color == BLACK &&
						((subLL == NULL&&subLR == NULL) ||
						(subLL&&subLR&&subLL->_color == BLACK&&subLR->_color == BLACK)))
					{
						subL->_color = RED;     //使得subL这条路径上少一个黑色接点，再继续向上判断
						cur = parent;
						parent = cur->_parent;
					}
					else
					{
						if (parent->_color == RED)      //如果父亲结点是红色结点
						{
							if ((subLL == NULL&&subLR == NULL)||
								(subLL&&subLR&&subLL->_color == BLACK&&subLR->_color == BLACK))
							{
								parent->_color = BLACK;      //让cur这条路径上的黑色接点增加一个
								subL->_color = RED;          //subL这条路径上的黑色接点个数不变
								break;
							}
						}

						if (subLR->_color == RED)       //subL的右孩子为红，先对subL进行左旋
						{
							//将双旋变为右单旋的情况
							RotateL(subL);
							subL = subLR;        //让subL指向旋转之后的父节点
						}

						RotateR(parent);       //对parent进行右单旋
						//将旋转之后新的父节点subL变为parent的颜色
						if (parent->_color == RED)
							subL->_color = RED;
						else
							subL->_color = BLACK;

						parent->_color = BLACK;
						subL->_left->_color = BLACK;
						break;
					}
				}
			}
		}
        _root->_color = BLACK;
		delete del;
		return true;
	}

	bool IsBlance()
	{
		if (_root == NULL)           //如果是空树，则就是平衡的
			return true;

		if (_root->_color == RED)     //如果树的根节点是红色的，则这棵树就不是平衡的
			return false;

		int count = 0;
		//用count统计这棵树最左路中黑色结点的个数，作为与其他路径比较的基准
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_color == BLACK)
				count++;
			cur = cur->_left;
		}
		int num=0;
		return _IsBlance(_root,num,count);
	}
protected:
	bool _IsBlance(Node* root,int num,const int& count)
	{
		if (root == NULL)
		{
			return num==count;
		}

		//如果这个结点是红色的，就去判断他的父亲是什么颜色,如果这个结点是红色的，则它一定不是根节点
		if (root->_color == RED&&root->_parent->_color==RED)
			return false;
		if (root->_color == BLACK)
			num++;

		return _IsBlance(root->_left,num,count)&&_IsBlance(root->_right,num,count);
	}

	void _Copy(Node* root,Node* &newroot)
	{
		if (root == NULL)
			return;
		Node* cur = new Node(root->_key,root->_value);
		cur->_color = root->_color;

		newroot = cur;
		cur->_parent = newroot;

		_Copy(root->_left,cur->_left);
		_Copy(root->_right,cur->_right);
	}

	void _Destory(Node* root)
	{
		if (root == NULL)
			return;
		_Destory(root->_left);
		_Destory(root->_right);
		delete root;
	}

	void RotateL(Node* parent)         //左旋
	{
		Node* ppNode = parent->_parent;
		Node* subR = parent->_right;

		parent->_right = subR->_left;
		if (subR->_left)
			subR->_left->_parent = parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (ppNode == NULL)
		{
			_root = subR;
			_root->_parent = NULL;
		}
		else
		{         //与上层进行链接
			if (ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left = subR;
			else
				ppNode->_right = subR;
			subR->_parent = ppNode;
		}
	}

	void RotateR(Node* parent)          //右旋
	{
		Node* ppNode = parent->_parent;
		Node* subL = parent->_left;

		parent->_left = subL->_right;
		if (subL->_right)
			subL->_right->_parent = parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (ppNode == NULL)
		{
			_root = subL;
			_root->_parent= NULL;
		}
		else                           //与上层结点链接
		{
			if (ppNode->_left == parent)
				ppNode->_left = subL;
			else
				ppNode->_right = subL;
			subL->_parent = ppNode;
		}
	}
private:
	Node* _root;
};