BZOJ 2705: [SDOI2012]Longge的问题

2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

Source

round1 day1

分析：

继续学数学...如果今天不GG，预计应该是高产的一天...然而题目难度2333...

根据Dirichlet卷积：id(i)=i,id=φ×1,(f×g)=Σ(d|n)f(d)*g(n/d)

Σ(1<=i<=n) gcd(i,n)

=Σ(1<=i<=n) id(gcd(i,n))

=Σ(1<=i<=n) Σ(d|gcd(i,n))φ(d)

=Σ(d|n)φ(d)*n/d

代码：

 1 #include<algorithm>
 2 #include<iostream>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cmath>
 6 //by NeighThorn
 7 #define int long long
 8 using namespace std;
 9 //大鹏一日同风起，扶摇直上九万里
10
11 int n,m,ans;
12
13 inline int phi(int x){
14     int cnt=x;
15     for(int i=2;i<=m;i++)
16         if(x%i==0){
17             cnt=cnt/i*(i-1);
18             while(x%i==0)
19                 x/=i;
20         }
21     if(x>1)
22         cnt=cnt/x*(x-1);
23     return cnt;
24 }
25
26 signed main(void){
27     scanf("%lld",&n);
28     m=sqrt(n);ans=0;
29     for(int i=1;i<=m;i++)
30         if(n%i==0){
31             ans+=phi(i)*n/i;
32             if(n/i>m)
33                 ans+=phi(n/i)*i;
34         }
35     printf("%lld\n",ans);
36     return 0;
37 }