hihocoder(1038,1043) 01背包与完全背包

动态规划是一直感觉比较模糊的东西，虽然大致上知道是什么一回事，但是离灵活应用还差得远，但貌似比赛中动态规划的题出的特别多，这两个经典问题其实只能算是一个学习动态规划很好的模型。不过万事开头难，关键还是得静下心来多练习。

01背包的状态转移式：f(i, j) = max{f(i-1, j), f(i-1, j-need[i])+value[i]}

直接按照上述的状态转移式申请二维数组进行运算，伪代码如下：

fori : 1..N　　

　　f(0,j) = 0

for i : 1..N

　　for j : 0..M

　　　　if(j < need(i))　　f(i, j) = f(i-1, j)

　　　　else　　f(i, j) = max{f(i-1, j), f(i-1, j-need[i])+value[i]}

但是这样写，空间复杂度是非常大的，因为有一个很大的二维数组，但是仔细观察公式，或者在纸上画画格子，就会发现，每次计算所需要的只是i-1行的数据，因此，很容易想到的是可以用两行一维数组交替使用即可，但是，再仔细观察，会发现每次计算都是用的左上方的数据，这样也就是说，如果反过来计算：

for i:1..N

　　for j: M..need(i)

　　　　f(j) = max{f(j), f(j-need(i))+value(i)}

就不会覆盖“左上方”的数据，并且能顺利完成整个状态转移量的计算。

代码其实就是状态转移式了，所以说动态规划的问题，只要能列出正确的状态转移式，离AC也就不远了。

Impl:

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3
 4 int main()
 5 {
 6     int N,M;
 7     cin >> N >> M;
 8     int *need = new int[N];
 9     int *value = new int[N];
10     for (int i = 0; i < N; ++i)
11         cin >> need[i] >> value[i];
12     int *dp = new int[M];
13
14     for (int i = 0; i < M; ++i)
15         dp[i] = 0;
16     for (int i = 0; i < N; ++i)
17         for (int j = M-1; j > need[i]; j--)
18             dp[j] = max(dp[j], dp[j-need[i]]+value[i]);
19
20     cout << dp[M-1] << endl;
21
22
23     delete [] need;
24     delete [] value;
25     delete [] dp;
26
27     return 0;
28 }

完全背包的状态转移式：f(i, j) = max{f(i-1, j), f(i, j-need[i])+value[i]}

完全在描述上就是第i的物品可以取任意次，

同样的，如果直接按照上述的状态转移式申请二维数组进行运算，伪代码如下：

fori : 1..N　　

　　f(0,j) = 0

for i : 1..N

　　for j : 0..M

　　　　if(j < need(i))　　f(i, j) = f(i-1, j)

　　　　else　　f(i, j) = max{f(i-1, j), f(i, j-need[i])+value[i]}

明显也可以优化空间复杂度，直接从数组计算上来看，每次计算f(i,j)都需要本行左端的数据，因此相对与01背包来说，这时只需要正着算就可以了。这里其实也可以理解为，01背包中循环之所以要倒着写，就是为了要响应每个物品只能用一次这个条件，而完全背包中，物品是无限制的，因此，下一个状态必须考虑其前面的子状态，所以循环便是正着的了。

for i:1..N

　　for j: need(i)..M

　　　　f(j) = max{f(j), f(j-need(i))+value(i)}

Impl:

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3
 4 int main()
 5 {
 6     int N,M;
 7     cin >> N >> M;
 8     int *need = new int[N];
 9     int *value = new int[N];
10     for (int i = 0; i < N; ++i)
11         cin >> need[i] >> value[i];
12     int *dp = new int[M];
13
14     for (int i = 0; i < M; ++i)
15         dp[i] = 0;
16     for (int i = 0; i < N; ++i)
17         for (int j = need[i]; j < M; ++j)
18             dp[j] = max(dp[j], dp[j-need[i]]+value[i]);
19
20     cout << dp[M-1] << endl;
21
22
23     delete [] need;
24     delete [] value;
25     delete [] dp;
26
27     return 0;
28 }