POJ-1664

 

放苹果

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Description

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

Input

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

Output

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

Sample Input

1
7 3

Sample Output

8

本题可以看成典型的整数分解问题。将m个苹果放到n个盘子里时可以分为两种情况，我们设a(m,n)表示结果总数，当全部n个盘子都不为0时，即每个盘子至少有一个苹果，这时我们可以将总数看为a(m-n,n)；当有一个空盘时，可以看做m个苹果放入n-1个盘子中，即a(m,n-1)（无需考虑多个空盘的情况，递归时自然会出现）。这时我们可得方程a(m,n)=a(m,n-1)+a(m-n,n)。下面我们来讨论几种特殊情况，首先就是m为1/0和n为1/0的情况，显而易见，a(m,1)、a(m,0)、a(1,n)、a(0,n)的结果皆为1。其次就是m<n时，a(m,n)的结果与a(m,m)的结果相同，故当m<n时，a(m,n)=a(m,m)。

我们也可以这样理解a(m,n-1)加一个空盘0即为a(m,n)含0的情况，a(m-n,n)在每一个盘子里加1个苹果即为a(m,n)且不会影响结果，这就是不含0的情况。所以a(m,n-1)和a(m-n,n)组成了a(m,n)即a(m,n)=a(m,n-1)+a(m-n,n)。

附AC代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 using namespace std;
 6
 7 const int MAX=12;
 8
 9 int a[MAX][MAX];
10
11 int main(){
12     int i,j,t,m,n;
13     for(i=0;i<MAX;i++){
14         a[0][i]=1;
15         a[1][i]=1;
16         a[i][0]=1;
17         a[i][1]=1;
18     }
19     for(i=2;i<MAX;i++){
20         for(j=2;j<MAX;j++){
21             if(i>=j)
22             a[i][j]=a[i][j-1]+a[i-j][j];
23             else
24             a[i][j]=a[i][i];
25         }
26     }
27     while(~scanf("%d",&t)){
28         while(t--){
29             scanf("%d %d",&m,&n);
30             if(m>=n)
31             printf("%d\n",a[m][n]);
32             else
33             printf("%d\n",a[m][m]);
34         }
35     }    return 0;
36 }