1、证明: 第三类分块初等变换是若干个第三类初等变换的复合. 特别地, 第三类分块初等变换不改变行列式的值.
2、设 $n\,(n\geq 2)$ 阶方阵 $A=(a_{ij}(x))$, 其中每个元素 $a_{ij}(x)$ 都是关于未定元 $x$ 的多项式. 若 $k$ 是正整数, 满足 $x^k$ 整除 $A$ 的所有代数余子式 $A_{ij}$, 证明: $x^{k+1}$ 整除 $A$ 的行列式 $|A|$.
提示 考虑 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的行列式. 另外, 本题还可以推广为: 若 $k$ 是正整数, $p(x)$ 是数域 $\mathbb{K}$ 上的不可约多项式, 满足 $p(x)^k$ 整除 $A$ 的所有代数余子式 $A_{ij}$, 则 $p(x)^{k+1}$ 整除 $|A|$.
3、设 $M=\begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2+1 & \cdots & a_1a_n+1 \\ a_2a_1+1 & a_2^2 & \cdots & a_2a_n+1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_na_1+1 & a_na_2+1 & \cdots & a_n^2 \end{pmatrix}$, 证明: $r(M)\geq n-1$.
提示 参考复旦高代教材第102页的例2.6.5，可用秩的降阶公式来做.
4、设 $A$ 是 $m\times n$ 实矩阵, 试用秩的子式判别法和 Cauchy-Binet 公式证明: $r(A‘A)=r(AA‘)=r(A)$.
提示 这是复旦高代教材第179页的复习题41, 复旦高代白皮书第151页的例3.72, 那里用的是线性方程组的求解理论来做的.