割顶: 关键点,删掉这个点后,图的连通分量 + 1;
桥: 在割顶的基础上,发现删除 (u,v) 这条边,图就变成非连通的了。
如何找出所有割顶和桥:
时间戳: 在无向图的基础上,DFS建树的过程中,各点进栈和出栈的时间 dfs_clock,进栈的时间 pre[],出栈的时间 post[]
在DFS程序中的体现就是:
void previst(int u) { pre[u]= ++dfs_clock; }
void postvist(int u) { post[u] = ++dfs_clock; }
如何求割顶和桥 (定理):
通过无向图建DFS森林后,每个点 u 是割顶的充要条件 : u 存在一个子节点 v ,使得 v 或者其子孙结点 没有一条返回边到 u 的祖先。
实现:
low(u) : u 及其 子孙结点能返回的 最早的祖先的 pre 值,那么定理就可以写成 low(v) >=pre[u];
特殊情况:当 v 的 后代 只能连回自己,即 low(v) > pre[u] 时,删掉这条边 (u,v) 就变成非连通的了,这条边就是 桥.
代码:
#include <bits/stdc++.h> using namespace std; const int MaxNode = 1000; int pre[MaxNode<<1]; int post[MaxNode<<1]; vector <int> G[MaxNode]; int iscut[MaxNode]; int low[MaxNode]; int dfs_clock; int dfs(int u,int fa) { int lowu = pre[u] = ++dfs_clock; int child = 0; for(int i=0;i<G[u].size();i++) { int v = G[u][i]; if(!pre[v]) { child ++; int lowv = dfs(v,u); if(lowv>=pre[u]) { iscut[u] = true; } } else if(pre[v]<pre[u]&&v!=fa) { lowu = min(lowu,pre[v]); } } if(fa<0&&child==1) iscut[u] = 0; low[u] = lowu; return lowu; }
注意:
无向图的边会处理两次,而在 DFS 树中 可能访问已经访问过的结点,可以利用这个结点更新 low 函数,但是 这个结点一定不能是 u 的父亲.
时间: 2024-10-21 04:22:08