Codeforces 559B Equivalent Strings 等价串

题意：给定两个等长串a，b，判断是否等价。等价的含义为：若长度为奇数，则必须是相同串。若长度是偶数，则将两串都均分成长度为原串一半的两个子串al，ar和bl，br，其中al和bl等价且ar和br等价，或者al和br等价且ar和bl等价。

实际上很水。直接按照题意模拟写个递归分治就可以求。比赛的时候总觉得这样暴力写会TLE，因为算了下大概是4^(log2(n))的复杂度，也就是n^2，所以比赛的时候就想了下，将两个串都按照题意转化为字典序最小串（循环节的最小表示法）然后比较a和b的两个最小表示法是否是相同的即可。

后来想了半天为什么分治到不了4^(log2(n))的复杂度呢？原因是这样的：我们就按照这个复杂度去构造串。首先，如果要让al和ar比较，bl和br比较，且al和br也比较，ar和bl也比较的话，则必须满足al和bl等价，ar和br不等价，且al和br等价，这样才能保证让ar和bl去比较。然而我们在比较的al和bl的时候，再分治，设al分成了all，alr，bl分成了bll，blr，要想让它再比较4次，则有all和bll等价，alr和blr不等价，alr和bll等价，但因为这个情况下al和bl是等价的，所以必须有alr和bll等价。我们简单的写成

all = bll

alr != blr

alr = bll

all = blr

然而这4个等式可以推出all = bll = alr = blr，即4个子串任意都能等价，与第二个等式矛盾。这说明无法构造一种串使得复杂度达到4^(log2(n))。实际上，在很多时候递归只进行了三次甚至两次一次就返回了。因此分治的效率也是很高的。当然，最小表示法的复杂度是O(n*log(n))的，那是一定可以过。实际上还是分治的思想，只不过处理上有点不同罢了。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;

const int MAX = 2*1e5 + 5;
char a[MAX], b[MAX];

int cmp(char *x, int l1, int l2, int len)
{
    for(int i = 0; i < len; i++)
    {
        if(x[l1 + i] < x[l2 + i])
            return -1;
        if(x[l1 + i] > x[l2 + i])
            return 1;
    }
    return 0;
}

void translation(char *x, int l, int r) //将原串变为字典序最小的串
{
    if((r - l + 1)&1)
        return;
    int mid = (l + r) >> 1, len = (r - l + 1) >> 1;
    translation(x, l, mid);
    translation(x, mid + 1, r);
    if(cmp(x, l, mid + 1, len) < 0)
    {
        for(int i = 0; i < len; i++)
            swap(x[l + i], x[mid + 1 + i]);
    }
}

void solve()
{
    int lena = strlen(a), lenb = strlen(b);
    translation(a, 0, lena - 1);
    translation(b, 0, lenb - 1);
    printf("%s\n", strcmp(a, b) == 0 ? "YES" : "NO");
}

int main()
{
    while(scanf("%s%s", a, b) != EOF)
        solve();
    return 0;
}



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