算法 | 最大连续子数组

最大连续子数组

给定一个数组A[0,1,…,n-1]，求A的连续子数组，使得该子数组的和最大。

例如:

数组：1，-2,3,10，-4,7,2，-5

最大字数组：3,10，-4,7,2

此问题有以下四种方法

1、  暴力法

2、  分治法

3、  分析法

4、  动态规划法

暴力法

直接求解A[I,…j]的值，其中，0<=i<n，i<=j<n，因为i,i+1,…j的最大长度为n，所以时间复杂度O(n3)。

//暴力法
int MaxSubArray(int *a, int n)
{
	int maxSum = a[0];
	int curSum;
	for(int i=0; i<n; ++i)
	{
		for(int j=i; j<n; ++j)
		{
			curSum = 0;
			for(int k=i; k<=j; ++k)
			{
				curSum+=a[k];
			}
			if(curSum>maxSum)
				maxSum = curSum;
		}
	}
	return maxSum;
}

分治法

将数组从中间分开，那么最大子数组要么完全在左半边数组，要么完全在右半边数组，要么跨立在分界点上。

完全在左数组、右数组，递归可以解决

跨立在分界点上：实际上是左数组的最大后缀和右数组的最大前缀的和。因此，从分界点向前扫，向后扫即可。

//分治法

int maxAddSub(int *a, int from, int to)
{
	if(from==to)
		return a[from];
	int mid = (from + to) / 2;
	int m1 = maxAddSub(a,from,mid);
	int m2 = maxAddSub(a,mid+1,to);
	int now = a[mid], left = a[mid];
	int i;
	for(i=mid-1; i>=from; --i)
	{
		now+=a[i];
		left = max(now,left);
	}
	int right = a[mid+1];
	now = a[mid+1];
	for(i=mid+2; i<=to; ++i)
	{
		now+=a[i];
		right = max(now,right);
	}
	int m3 = left + right;
	return max(max(m1,m2),m3);
}

分析法

设前缀和p[i]=a[0]+a[1]+a[2]+...+a[i]

s[i,j]=p[j]-p[i-1]，表示从数组第i个位置到第j个位置的元素和

算法过程：

遍历一遍数组，求前缀p[i]，0<=i<n，p[i]=p[i-1]+a[i]

再遍历一遍，找到最小的前缀p[i]，赋值给min

再遍历一遍各前缀，令p[i]-min最大，即是以a[i]结尾的数组中最大的子数组

因为该过程都是线性的，所以时间复杂度为O(N)

//分析法
int maxAddSub(int *a, int n)
{
	vector<int> p;
	p.push_back(a[0]);
	int i;
	for(i=1; i<n; ++i)
		p.push_back(a[i]+p[i-1]);
	int min = 0;
	for(i=0; i<n; ++i)
		if(p[i]< min)
			min = p[i];
	int max = 0;
	for(i=0; i<n; ++i)
		if(p[i]-min > max)
			max = p[i]-min;
	return max;
}

动态规划

设S[i]为以a[i]结尾的数组中和最大的子数组，则S[i+1]=max(S[i]+a[i+1],a[i+1])，S[0]=a[0];

因此，遍历i:
0<=i<n;

时间复杂度O(N);

//动态规划
int MaxSubArray_dynamic(int *a, int n)
{
	int result = a[0];
	int sum = a[0];
	for(int i=0; i<n; ++i)
	{
		if(sum>0)
			sum+=a[i];
		else
			sum = a[i];
		if(sum > result)
			result = sum;
	}
	return result;
}

测试代码

// Maximum continuous word groups.cpp : Defines the entry point for the console application.
//

#include "stdafx.h"
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

//暴力法
int MaxSubArray(int *a, int n)
{
	int maxSum = a[0];
	int curSum;
	for(int i=0; i<n; ++i)
	{
		for(int j=i; j<n; ++j)
		{
			curSum = 0;
			for(int k=i; k<=j; ++k)
			{
				curSum+=a[k];
			}
			if(curSum>maxSum)
				maxSum = curSum;
		}
	}
	return maxSum;
}

int max(int a, int b)
{
	return a>b ? a : b;
}
//分治法
int maxAddSub(int *a, int from, int to)
{
	if(from==to)
		return a[from];
	int mid = (from + to) / 2;
	int m1 = maxAddSub(a,from,mid);
	int m2 = maxAddSub(a,mid+1,to);
	int now = a[mid], left = a[mid];
	int i;
	for(i=mid-1; i>=from; --i)
	{
		now+=a[i];
		left = max(now,left);
	}
	int right = a[mid+1];
	now = a[mid+1];
	for(i=mid+2; i<=to; ++i)
	{
		now+=a[i];
		right = max(now,right);
	}
	int m3 = left + right;
	return max(max(m1,m2),m3);
}

//分析法
int maxAddSub(int *a, int n)
{
	vector<int> p;
	p.push_back(a[0]);
	int i;
	for(i=1; i<n; ++i)
		p.push_back(a[i]+p[i-1]);
	int min = 0;
	for(i=0; i<n; ++i)
		if(p[i]< min)
			min = p[i];
	int max = 0;
	for(i=0; i<n; ++i)
		if(p[i]-min > max)
			max = p[i]-min;
	return max;
}

//动态规划
int MaxSubArray_dynamic(int *a, int n)
{
	int result = a[0];
	int sum = a[0];
	for(int i=0; i<n; ++i)
	{
		if(sum>0)
			sum+=a[i];
		else
			sum = a[i];
		if(sum > result)
			result = sum;
	}
	return result;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int a[] = {1,-2,3,10,-4,7,2,-5};
	int size = sizeof(a)/sizeof(a[0]);
	double duration;
	cout<<MaxSubArray(a,size)<<endl;
	cout<<maxAddSub(a,0,size)<<endl;
	cout<<maxAddSub(a,size)<<endl;
	cout<<MaxSubArray_dynamic(a,size)<<endl;
	return 0;
}