数论18——反演定理（莫比乌斯反演）

莫比乌斯反演也是反演定理的一种

既然我们已经学了二项式反演定理

那莫比乌斯反演定理与二项式反演定理一样，不求甚解，只求会用

莫比乌斯反演长下面这个样子(=?ω?=)

d|n，表示n能够整除d，也就是d是n的所有因子

μ(x)是莫比乌斯函数，它是这样计算的

μ(1) = 1

x = p1 * p2 * p3 ……*pk（x由k个不同的质数组成）则μ(x) = (-1)^k

其他情况，μ (x) = 0

比如

30 = 2 * 3 * 5

μ(30) = (-1)^3

4 = 2 * 2

μ(4) = 0

对于μ(d)函数，它有如下的常见性质：

（1）对任意正整数n有

（2）对任意正整数n有

求μ的函数的方法很多

这里提供一种线筛的预处理（复杂度O(n)哟~~~）

#include<cstdio>
const int N = 1e6 + 5;
int mu[N], vis[N], prime[N];
int tot;//用来记录prime的个数
void init(){
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        if(!vis[i]){
            prime[tot ++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < N; j ++){
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            else{
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}
int main(){
    init();
}

上次，有人问我μ为啥不是miu是mu

这。。。当然都可以啦，μ的英文就是mu，miu是读音看你习惯

∑(っ °Д °;)っ为了证明我是对的，我特意百度了希腊字母读音及科学方面应用

其实莫比乌斯有两种描述

莫比乌斯第一种描述，一般是这种

莫比乌斯第二种描述，这种也可以而且有些题这种更好

来做题吧

hdu 1695

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695

（这题就是容斥那一章的，我就把下面的题意照搬过来了，还记得题目的就跳过题目吧）

题意:给你5个数a，b，c，d，k

在a~b中选一个x, c~d中选一个y，满足gcd(x,y) = k , 求(x,y) 的对数

a, b, c, d, k, 0 < a <= b <= 100,000, 0 < c <= d <= 100,000, 0 <= k <= 100,000

在题目描述的最后一行有一句话，多组里面所有的a和c都是1（这题目不是坑爹吗(╯‵□′)╯︵┻━┻那输入a和c有什么用）

然后题目变成

在1~b中选一个x, 1~d中选一个y，满足gcd(x,y) = k , 求(x,y) 的对数 。。。（无语中。。。）

前面思路一样

先把问题就转化为求1~a区间 和 1~b区间，gcd(x,y) = 1对数的问题

设f(d)为满足gcd(x,y)=d的x,y的对数

我们根据莫比乌斯第二描述来做

那F(1) = f(1) + f(2) + f(3) + ....

F(2) = f(2) + f(4) + f(6) +.....

我们可以看出F(d)就是满足gcd(x,y)为d的倍数的x,y的对数

那F(d)的公式就容易求了

F(d) = (a/d) * (b/d)

（在1~a中，有a/d个数是d的倍数，在1~b中，有b/d个数是d的倍数，这些数不管怎么选择，构成的gcd(x,y)都是d的倍数）

因为

F(1) = f(1) + f(2) + f(3) + ....

所以

f(1) = μ(1)*F(1) + μ(2)*F(2) + μ(3)*F(3) + ...

AC代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 1e6 + 5;
int mu[N], vis[N], prime[N];
int tot;//用来记录prime的个数
void init(){
    mu[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++){
        if(!vis[i]){
            prime[tot ++] = i;
            mu[i] = -1;
        }
        for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < N; j ++){
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            else{
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
}
LL Mobius(int a, int b){
    LL ret = 0;
    for(int i = 1; i <= a; i ++){//因为公式中有a/i，所以for到a就可以了
        ret += 1ll * mu[i] * (a / i) * (b / i);
    }
    //我们现在求完了总对数，但是题目要求的类似(5,7)和(7,5)算一种
    //所以接下来我们开始去重
    LL temp = 0;
    for(int i = 1; i <= a; i ++){
        temp += 1ll * mu[i] * (a / i) * (a / i);
    }
    return ret - temp / 2;
    //比如a=5,b=7那么(4,6)这样子的区间不可能有重复的(6,4)
    //所以重复的部分只在1~a中，所以最后减去一半的重复区间就好了
}
int main(){
    init();
    int T, a, b, c, d, k;
    scanf("%d", &T);
    for(int cas = 1; cas <= T; cas ++){
        scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k);
        if(k == 0){
            printf("Case %d: 0\n", cas);
            continue;
        }
        b /= k; d /= k;
        if(b > d) swap(b, d);
        printf("Case %d: %I64d\n", cas, Mobius(b, d));
    }
}

/////////////////此处施工中//////////////////

暂时弃坑。。。。

http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=94200#overview

峰神挂的莫比乌斯反演章节，有兴趣自己去做做，不会的去百度。。。。