当模型在训练数据集上更准确时，在测试数据集上的准确率既可能上升又可能下降。这是为什么呢？

训练误差和泛化误差

在解释上面提到的现象之前，我们需要区分训练误差（training error）和泛化误差（generalization error）：前者指模型在训练数据集上表现出的误差，后者指模型在任意一个测试数据样本上表现出的误差的期望。

假设训练数据集和测试数据集里的每一个样本都是从同一个概率分布中相互独立地生成的。基于该独立同分布假设，给定任意一个机器学习模型及其参数和超参数，它的训练误差的期望和泛化误差都是一样的。

然而，模型的参数是通过训练数据训练模型而学习出来的，训练误差的期望小于或等于泛化误差。也就是说，通常情况下，由训练数据集学到的模型参数会使模型在训练数据集上的表现优于或等于在测试数据集上的表现。

由于无法从训练误差估计泛化误差，降低训练误差并不意味着泛化误差一定会降低。我们希望通过适当降低模型的训练误差，从而能够间接降低模型的泛化误差。

欠拟合和过拟合

给定测试数据集，我们通常用机器学习模型在该测试数据集上的误差来反映泛化误差。当模型无法得到较低的训练误差时，我们将这一现象称作欠拟合（underfitting）。当模型的训练误差远小于它在测试数据集上的误差时，我们称该现象为过拟合（overfitting）。

在实践中，我们要尽可能同时避免欠拟合和过拟合的出现。虽然有很多因素可能导致这两种拟合问题，在这里我们重点讨论两个因素：模型复杂度和训练数据集大小。

模型复杂度

为了解释模型复杂度，让我们以多项式函数拟合为例。给定一个由标量数据特征x和对应的标量标签y组成的训练数据集，多项式函数拟合的目标是找一个K阶多项式函数

\[\hat{y} = b + \sum_{k=1}^K x^k w_k\]
来近似y。上式中，带下标的w是模型的权重参数，b是偏差参数。和线性回归相同，多项式函数拟合也使用平方损失函数。特别地，一阶多项式函数拟合又叫线性函数拟合。

高阶多项式函数比低阶多项式函数更容易在相同的训练数据集上得到更低的训练误差。给定训练数据集，模型复杂度的和误差之间的关系通常如图所示。给定训练数据集，如果模型的复杂度过低，很容易出现欠拟合；如果模型复杂度过高，很容易出现过拟合。

训练数据集大小

影响欠拟合和过拟合的另一个重要因素是训练数据集大小。一般来说，如果训练数据集过小，特别是比模型参数数量更小时，过拟合更容易发生。

此外，泛化误差不会随训练数据集里样本数量增加而增大。因此，在计算资源允许范围之内，我们通常希望训练数据集大一些，特别当模型复杂度较高时，例如训练层数较多的深度学习模型时。

模型选择

在选择模型时，我们可以切分原始训练数据集：其中大部分样本组成新的训练数据集，剩下的组成验证数据集（validation data set）。
我们在新的训练数据集上训练模型，并根据模型在验证数据集上的表现调参和选择模型。
最后，我们在测试数据集上评价模型的表现。

K 折交叉验证

在K折交叉验证中，我们把原始训练数据集分割成K个不重合的子数据集。然后我们做K次模型训练和验证。每一次，我们使用一个子数据集验证模型，并使用其他K?1个子数据集来训练模型。在这K次训练和验证中，每次用来验证模型的子数据集都不同。最后，我们只需对这K次训练误差和验证误差分别求平均作为最终的训练误差和验证误差。

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