Caffe中的损失函数解析
导言
在有监督的机器学习中，需要有标签数据，与此同时，也需要有对应的损失函数（Loss Function）。
在Caffe中，目前已经实现了一些损失函数，包括最常见的L2损失函数，对比损失函数，信息增益损失函数等等。在这里做一个笔记，归纳总结Caffe中用到的不同的损失函数，以及分析它们各自适合的使用场景。
欧式距离损失函数（Euclidean Loss）
输入：
预测的值： y ^ ∈[?∞,+∞] , 其中，它们的形状为：N×C×H×W
标签的值： y∈[?∞,+∞] , 其中，它们的形状为：N×C×H×W
输出：
损失的值：Loss=12N ∑ N n=1 ∥y ^ n ?y n ∥ 2 2
适合场景：
回归，特别是其回归的值是实数值得时候。
对比损失函数（Contrastive loss）
输入：
形状：(N×C×1×1) 特征 a∈[?∞,+∞]
形状：(N×C×1×1) 特征 b∈[?∞,+∞]
形状：(N×1×1×1) 相似性 y∈[0,1]
输出：
形状：(1×1×1×1)
对比损失函数为: E=12N ∑ n=1 N (y)d+(1?y)max(margin?d,0)
其中 d=||a n ?b n || 2 2 .
适合场景：
可以用来训练Siamese网络
铰链损失函数（Hinge Loss）
输入：
形状：(N×C×H×W) 预测值 t∈[?∞,+∞] 代表着预测 K=CHW 个类中的得分（注：CHW表示着在网络设计中，不一定要把预测值进行向量化，只有其拉直后元素的个数相同即可。） . 在SVM中, t 是 D 维特征X∈R D×N , 和学习到的超平面参数W∈R D×K 内积的结果 X T W
所以，一个网络如果仅仅只有全连接层 + 铰链损失函数，而没有其它的可学习的参数，那么它就等价于SVM
标签值：
(N×1×1×1) 标签 l , 是一个整数类型的数 l n ∈[0,1,2,...,K?1] 其代表在 K 个类中的正确的标签。
输出：
形状：(1×1×1×1)
损失函数计算: E=1N ∑ n=1 N ∑ k=1 K [max(0,1?δ{l n =k}t nk )] p , L p 范数 (默认是 p=1 , 是 L1 范数; L2 范数,正如在 L2-SVM中一样,也有实现),
其中 δ{条件}={1?1 成立不成立
应用场景：
在一对多的分类中应用,类似于SVM.
信息增益损失函数（InformationGain Loss）
输入：
- 形状：(N×C×H×W) 预测值 p ^ ∈[0,1] 内， 表示这预测每一类的概率，共 K=CHW 个类， 每一个预测 概率p ^ n 的和为1: ?n∑ k=1 K p ^ nk =1 .
- 形状：(N×1×1×1) 标签值： l , 是一个整数值，其范围是 l n ∈[0,1,2,...,K?1] 表示着在 K 个类中的索引。
- 形状：(1×1×K×K) (可选) 信息增益矩阵 H .作为第三个输入参数，. 如果 H=I , 则它等价于多项式逻辑损失函数
输出：
形状：(1×1×1×1)
计算公式: E=?1N ∑ n=1 N H l n log(p ^ n )=?1N ∑ n=1 N ∑ k=1 K H l n ,k log(p ^ n,k ) , 其中 H l n 表示 行 l n of H .
多项式逻辑损失函数（Multinomial Logistic Loss）
输入：
形状：(N×C×H×W) 预测值 p ^ ∈[0,1] 范围中， 表示这预测的每一类的概率，共 K=CHW 个类. 每一个预测概率p ^ n 的和为1: ?n∑ k=1 K p ^ nk =1 .
形状：(N×1×1×1) 标签 l , 是一个整数值，其范围是 l n ∈[0,1,2,...,K?1] 表示着在 K 个类中的索引。
输出：
形状：(1×1×1×1) 计算公式: E=?1N ∑ n=1 N log(p ^ n,l n )
应用场景：
在一对多的分类任务中使用，直接把预测的概率分布作为输入.
Sigmoid 交叉熵损失函数（Sigmoid Cross Entropy Loss）
输入：
- 形状: (N×C×H×W) 得分 x∈[?∞,+∞] , 这个层使用 sigmoid 函数 σ(.) 映射到概率分布 p ^ n =σ(x n )∈[0,1]
- 形状:(N×C×H×W) 标签 y∈[0,1]
输出：
- 形状：(1×1×1×1) 计算公式: E=?1n ∑ n=1 N [p n logp ^ n +(1?p n )log(1?p ^ n )]
应用场景：
预测目标概率分布
Softmax+损失函数(Softmax With Loss)
输入：
- 形状：(N×C×H×W) 预测值 x∈[?∞,+∞] 代表预测每个类的得分。 共 K=CHW 类. 这一层把得分通过softmax映射到概率分布 p ^ nk =exp(x nk )/[∑ k ′ exp(x nk ′ )]
- 形状：(N×1×1×1) 标签值 是一个整数值，其范围是 l n ∈[0,1,2,...,K?1] 表示着在 K 个类中的索引。
输出：
- 形状：(1×1×1×1) 计算公式: E=?1N ∑ n=1 N log(p ^ n,l n ) , 其中 p ^ 为softmax输出的类概率。
应用场景：
在一对多分类中应用。