ZOJ 1015 弦图判定

一些定义:

弦图是一种特殊图:它的所有极小环都只有3个顶点。

单纯点：该顶点与其邻接点在原图中的导出子图是一个完全图。

图G的完美消去序列：一个顶点序列a₁a₂a₃...a_n,使得对于每个元素a_i，a_i在a_i、a_i+1、a_i+2...a_n的导出子图中是一个单纯点。

弦图有一个性质：任何一个弦图都至少存在一个单纯点（该点和其邻接点组成一个完全图）

弦图另一个性质：一个图是弦图当且仅当其存在完美消去序列。（归纳证明）

最大势算法(msc）：若原图是弦图，则该算法计算出的序列是完美消去序列。

算法大致思想：从后往前计算序列，每次选择点v作为序列中的元素，v是还未选的点中与已经选了的点连边最多的点。

然后检查该序列是否是完美消去序列。

请看陈丹琦的ppt：《弦图与区间图》

 1 #include <cstdio>
 2 #include <cstring>
 3 #include <queue>
 4 #include <vector>
 5 #define maxn 1010
 6 using namespace std;
 7
 8 int n, m;
 9 vector<int> g[maxn];
10 bool connect[maxn][maxn];
11
12 int id[maxn];
13 int label[maxn];
14 int seq[maxn];
15
16 struct Stat {
17     int lab, u;
18     Stat( int lab, int u ) : lab(lab), u(u) {}
19     bool operator<( const Stat & b ) const {
20         return lab<b.lab;
21     }
22 };
23 void mcs() {
24     priority_queue<Stat> pq;
25     memset( label, 0, sizeof(label) );
26     memset( id, 0, sizeof(id) );
27     for( int u=1; u<=n; u++ ) pq.push(Stat(0,u));
28
29     for( int i=n; i>=1; i-- ) {
30         while( id[pq.top().u] ) pq.pop();
31         int u = pq.top().u;
32         pq.pop();
33         id[u] = i;
34         for( int t=0; t<g[u].size(); t++ ) {
35             int v = g[u][t];
36             if( !id[v] ) {
37                 label[v]++;
38                 pq.push( Stat(label[v],v) );
39             }
40         }
41     }
42     for( int u=1; u<=n; u++ )
43         seq[id[u]] = u;
44 }
45
46 bool check() {
47     vector<int> c;
48     for( int i=1; i<=n; i++ ) {
49         int u = seq[i];
50         c.clear();
51         for( int t=0; t<g[u].size(); t++ ) {
52             int v = g[u][t];
53             if( id[v]>id[u] )
54                 c.push_back(v);
55         }
56         if( c.empty() ) continue;
57         int sc = c[0];
58         for( int t=1; t<c.size(); t++ )
59             if( id[c[t]]<id[sc] ) sc=c[t];
60         for( int t=0; t<c.size(); t++ ) {
61             int v = c[t];
62             if( v==sc ) continue;
63             if( !connect[sc][v] ) return false;
64         }
65     }
66     return true;
67 }
68 void init( int n ) {
69     memset( connect, false, sizeof(connect) );
70     for( int u=1; u<=n; u++ ) g[u].clear();
71 }
72 int main() {
73     while(1) {
74         scanf( "%d%d", &n, &m );
75         if( n==0 && m==0 ) return 0;
76         init(n);
77         for( int i=1,u,v; i<=m; i++ ) {
78             scanf( "%d%d", &u, &v );
79             connect[u][v] = connect[v][u] = true;
80             g[u].push_back(v);
81             g[v].push_back(u);
82         }
83         mcs();
84         printf( "%s\n\n", check() ? "Perfect" : "Imperfect" );
85     }
86 }