ARIMA模型介绍

ARIMA并不是一个特定的模型，而是一类模型的总称。他的3个参数p, d, q分别表示自相关(p阶AR模型)， d次差分，滑动平均(q阶MA模型)。因此有，

- p = d = 0, ARIMA模型即MA(q)模型；

- d = q = 0, ARIMA模型即AR(p)模型；

MA模型含义

当前时刻的值可以表示为过去干扰项和当前干扰项的线性组合。

MA模型描述

符号和前提

xt: t时刻的值

εt:εt～WN(0,δ2)，白噪声序列

θi: 参数

MA(1): 一阶移动平均模型

推导公式

xt=εt?θ1εt?1,θ1≠0.

统计性质

E(xt)=E(εt)?θ1E(εt?1)=0

Var(xt)=Var(εt)+θ21Var(εt?1)=(1+θ2)σ2

γt,s=Cov(εt?θεt?1,εs?θεs?1)=Cov(εt,εs)?θCov(εt,εs?1)?θCov(εt?1,εs)+θ2Cov(εt?1,εs?1)

考虑时滞 k = |t -s|， 有：

γk=?????(1+θ2)σ2?θσ20(k=0)(k=1)(k>1)

同样的有，自相关系数：

ρk=?????1(?θ)/(1+θ2)0(k=0)(k=1)(k>1)

MA(q): q阶移动平均模型

推导公式

xt=εt?θ1εt?1?...?θqεt?q,θ1≠0.

注：以上我们讨论的都是去中心化的MA，针对非去中心化的MA，即其期望不为0，可简单的使 xt′=xt?μ 即得到去中心化的MA。

统计性质

E(xt)=E(εt?θ1εt?1?...?θqεt?q)=0

Var(xt)=Var(εt?θ1εt?1?...?θqεt?q)=(1+θ21+...+θ2q)δ2

自协方差函数：

γk=???????(1+θ21+...+θ2q)σ2(?θk+Σq?ki=1θiθk+i)σ20(k=0)(1≤k≤q)(k>q)

自相关函数：

ρk=???????1(?θk+Σq?ki=1θiθi+k)/(1+θ21+...+θ2q)0(k=0)(1≤k≤q)(k>q)

性质说明

一般的，MA(q)模型是一个平稳模型，并且在时滞大于q后没有相关性。

MA(2)示例

R代码

wn <- rnorm(100, mean=0, sd=1);
x <- c();
x[1] <- wn[1];
x[2] <- wn[2] + 0.9 * wn[1];
for (i in 3:length(wn)) {
    x[i] <- wn[i] - (-0.796) * wn[i-1] - (- 0.32) * wn[i - 2];
}
x.ts <- ts(x)
plot(x.ts main="MA(2)", type="b");

时间序列图

自相关系数图