DP凸优化
题目并不难
先转化问题，显然k=0的时候我们都知道是求直径，然后k=1就是选两条点不相交的链拼起来，很容易推出题目就是要我们在树上选$k+1$条点不相交的链
事实上你直接按照边不相交做，取k+1次直径都可以得到50pts的好成绩，我佛了(不要问我怎么知道的
这个东西是可以DP的(稍微有点麻烦)：设$dp[i][j][0/1/2]$表示以$i$为根的子树里选出j条链，这时i的度数为0/1/2的最优解。度数为零表示i是单独一个点，度数为1表示是链的端点，度数为2就是链中间的一个点
然后转移就是拼来拼去，看代码吧
60pts暴力DP↓
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 const int N=300005,K=105;
6 int n,k,t1,t2,t3,cnt;
7 long long dp[N][K][3];
8 int p[N],noww[2*N],goal[2*N],val[2*N],siz[N];
9 void Maxi(long long &x,long long y)
10 {
11 if(x<y) x=y;
12 }
13 void Link(int f,int t,int v)
14 {
15 noww[++cnt]=p[f],p[f]=cnt;
16 goal[cnt]=t,val[cnt]=v;
17 noww[++cnt]=p[t],p[t]=cnt;
18 goal[cnt]=f,val[cnt]=v;
19 }
20 void DFS(int nde,int fth)
21 {
22 siz[nde]=1;
23 dp[nde][0][0]=dp[nde][1][1]=dp[nde][1][2]=0;
24 for(int i=p[nde];i;i=noww[i])
25 if(goal[i]!=fth)
26 {
27 int g=goal[i]; DFS(g,nde);
28 for(int j=min(siz[nde],k);~j;j--)
29 for(int h=min(siz[goal[i]],k-j+1);~h;h--)
30 {
31 for(int l=0;l<=2;l++)
32 for(int f=0;f<=2;f++)
33 Maxi(dp[nde][j+h][l],dp[nde][j][l]+dp[g][h][f]);
34 if(j+h<k) Maxi(dp[nde][j+h+1][1],dp[nde][j][0]+dp[g][h][0]+val[i]);
35 Maxi(dp[nde][j+h][1],dp[nde][j][0]+dp[g][h][1]+val[i]);
36 Maxi(dp[nde][j+h][2],dp[nde][j][1]+dp[g][h][0]+val[i]);
37 if(j&&h) Maxi(dp[nde][j+h-1][2],dp[nde][j][1]+dp[g][h][1]+val[i]);
38 }
39 siz[nde]+=siz[goal[i]];
40 }
41 }
42 int main()
43 {
44 scanf("%d%d",&n,&k),k++;
45 for(int i=1;i<n;i++)
46 {
47 scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);
48 Link(t1,t2,t3);
49 }
50 memset(dp,0xc0,sizeof dp),DFS(1,0);
51 printf("%lld",max(dp[1][k][0],max(dp[1][k][1],dp[1][k][2])));
52 return 0;
53 }
考虑优化
官方的题解是这么写的：
emmmm......
好吧我们不管具体过程，先假装我们发现了这个规律。差分后递减，说明这是个上凸函数(以选取的链数为x轴，最优解为y轴)。这种DP有个套路的优化方法叫做凸优化：二分斜率，然后我们强制选取物品时额外付出斜率的代价(这里是选链)。这时套用原来那个DP(把它当成一个黑箱，输入直线输出切点)，相当于不限制数目地选取。最后得到一个最优情况下选出来的数目，根据这个数目调整二分上下界即可。
为什么这是对的？
数形结合地考虑这个问题，减去斜率相当于把
1 #include<cstdio>
2 #include<cstring>
3 #include<algorithm>
4 using namespace std;
5 const int N=600005;
6 int p[N],noww[N],goal[N],val[N];
7 int n,k,t1,t2,t3,cnt; long long del;
8 struct a
9 {
10 int cho;
11 long long sum;
12 }dp[N][3];
13 a operator + (a x,a y)
14 {
15 return (a){x.cho+y.cho,x.sum+y.sum};
16 }
17 bool operator < (a x,a y)
18 {
19 if(x.sum^y.sum) return x.sum<y.sum;
20 return x.cho<y.cho;
21 }
22 void Maxi(a &x,a y)
23 {
24 if(x<y) x=y;
25 }
26 void Link(int f,int t,int v)
27 {
28 noww[++cnt]=p[f],p[f]=cnt;
29 goal[cnt]=t,val[cnt]=v;
30 noww[++cnt]=p[t],p[t]=cnt;
31 goal[cnt]=f,val[cnt]=v;
32 }
33 void DFS(int nde,int fth)
34 {
35 dp[nde][2]={1,-del};
36 for(int i=p[nde];i;i=noww[i])
37 if(goal[i]!=fth)
38 {
39 int g=goal[i]; DFS(g,nde);
40 dp[nde][2]=max(dp[nde][2]+dp[g][0],dp[nde][1]+dp[g][1]+(a){1,val[i]-del});
41 dp[nde][1]=max(dp[nde][1]+dp[g][0],dp[nde][0]+dp[g][1]+(a){0,val[i]});
42 dp[nde][0]=dp[nde][0]+dp[g][0];
43 }
44 Maxi(dp[nde][0],dp[nde][1]+(a){1,-del});
45 Maxi(dp[nde][0],dp[nde][2]);
46 }
47 int Calc(long long x)
48 {
49 del=x;
50 for(int i=1;i<=n;i++)
51 dp[i][0]=dp[i][1]=(a){0,0}; DFS(1,0);
52 return dp[1][0].cho;
53 }
54 int main()
55 {
56 scanf("%d%d",&n,&k),k++;
57 for(int i=1;i<n;i++)
58 {
59 scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);
60 Link(t1,t2,t3);
61 }
62 long long l=-1e12,r=1e12,ans=0;
63 while(l<=r)
64 {
65 long long mid=(l+r)>>1;
66 (Calc(mid)>=k)?l=mid+1,ans=mid:r=mid-1;
67 }
68 Calc(ans),printf("%lld",dp[1][0].sum+ans*k);
69 return 0;
70 }
原文地址：https://www.cnblogs.com/ydnhaha/p/10436329.html
时间： 2024-07-30 11:17:47