对于背包问题,林喵喵推荐我看了dd大佬的背包九讲,在此附上链接:http://blog.csdn.net/pi9nc/article/details/8142876
网上应该有下载的版本:https://wenku.baidu.com/view/7c1ed28dbd64783e08122b65.html
然后花了一个晚上和一个上午的时间,终于对最简单的01背包问题有了一点点自己的理解,在此进行一些自己的解释。
01背包的状态转换方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi( j >= Wi ), f[i-1,j] }
f[i,j]表示在前i件物品中选择若干件放在承重为 j 的背包中,可以取得的最大价值。
Pi表示第i件物品的价值。
决策:为了背包中物品总价值最大化,(如果第i件物品放得下的话)第 i件物品应该放入背包中吗 ?(当然,如果放不下,那就只能选择不放了)
题目描述:
有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品,它们的重量分别是2,2,6,5,4,它们的价值分别是6,3,5,4,6,现在给你个承重为10的背包,如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和?
name | weight | value | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
a | 2 | 6 | 0 | 6 | 6 | 9 | 9 | 12 | 12 | 15 | 15 | 15 |
b | 2 | 3 | 0 | 3 | 3 | 6 | 6 | 9 | 9 | 9 | 10 | 11 |
c | 6 | 5 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 11 |
d | 5 | 4 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 10 | 10 |
e | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 | 6 |
只要你能通过找规律手工填写出上面这张表就算理解了01背包的动态规划算法。(如果是第一次学01背包,请务尝试必手写这张表)
首先要明确这张表是至底向上,从左到右生成的。
为了叙述方便,用e2单元格表示e行2列的单元格,这个单元格的意义是用来表示只有物品e时,有个承重为2的背包,那么这个背包的最大价值是0,因为e物品的重量是4,背包装不了。
对于d2单元格,表示只有物品e,d时,承重为2的背包,所能装入的最大价值,仍然是0,因为物品e,d都不是这个背包能装的。(这个就是在循环中的一个判断(if(v[i]<=j)))
同理,c2=0,b2=3,a2=6。
对于承重为8的背包,a8=15,是怎么得出的呢?
根据01背包的状态转换方程,需要考察两个值,
一个是f[i-1,j],(就是在这个物品放得下的前提下,我们不放这个物品,可以理解为,这个物品占空间位置大,且价值小)对于这个例子来说就是b8的值9,另一个是f[i-1,j-Wi]+Pi(表示我要把这个物品放入背包,那就是为这个物品腾出空间,然后看在j-wi的空间下,放I-1件物品的时候,最大的价值是多少,把那个最大+wj);
在这里,
f[i-1,j]表示我有一个承重为8的背包,当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]表示我有一个承重为6的背包(等于当前背包承重减去物品a的重量),当只有物品b,c,d,e四件可选时,这个背包能装入的最大价值
f[i-1,j-Wi]就是指单元格b6,值为9,Pi指的是a物品的价值,即6
由于f[i-1,j-Wi]+Pi = 9 + 6 = 15 大于f[i-1,j] = 9,所以物品a应该放入承重为8的背包。
大概就是这样,如果有什么问题,我今后再补充。
文章参考:http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810