定义
在程序设计中，有相当一类求一组解，或求全部解或求最优解的问题，例如读者熟悉的八皇后问题，不是根据某种特定的计算法则，而是利用试探和回溯的搜索技术求解。回溯法也是设计递归过程的一种重要方法，它的求解过程实质上是一个先序遍历一棵"状态树"的过程,只是这棵树不是遍历前预先建立的,而是隐含在遍历过程中。
---《数据结构》(严蔚敏)
怎么理解这段话呢？
首先，某种问题的解我们很难去找规律计算出来，没有公式可循，只能列出所有可能的解，然后一个个检查每个解是否符合我们要找的条件，也就是通常说的遍历。而解空间很多是树型的，就是树的遍历。
其次，树的先序遍历，也就是根是先被检查的，二叉树的先序遍历是根，左子树，右子树的顺序被输出。如果把树看做一种特殊的图的话，DFS就是先序遍历。所以，回溯和DFS是联系非常紧密的，可以认为回溯是DFS的一种应用场景。另外，DFS有个好处，它只存储深度，不存储广度。所以空间复杂度较小，而时间复杂度较大。
最后，某些解空间是非常大的，可以认为是一个非常庞大的树，此时完全遍历的时间复杂度是难以忍受的。此时可以在遍历的同时检查一些条件，当遍历某分支的时候，若发现条件不满足，则退回到根节点进入下一个分支的遍历。这就是“回溯”这个词的来源。而根据条件有选择的遍历，叫做剪枝或分枝定界。
DFS
首先看DFS，下面是算法导论上DFS的伪代码，值得一行行的去品味。需要注意染色的过程，因为图有可能是有环的，所以需要记录那些节点被访问过了，那些没有，而树的遍历是没有染色过程的。而且它用 π[m]来记录m的父节点，也就可以记录DFS时的路径。
DFS(G)
1 for each vertex u ∈ V [G]
2 do color[u] ← WHITE
3 π[u] ← NIL
4 time ← 0
5 for each vertex u ∈ V [G]
6 do if color[u] = WHITE
7 then DFS-VISIT(u)
DFS-VISIT(u)
1 color[u] ← GRAY
2 time ← time +1
3 d[u] <-time
4 for each v ∈ Adj[u]
5 do if color[v] = WHITE
6 then π[v] ← u
7 DFS-VISIT(v)
8 color[u] <-BLACK
例子
例一：求幂集问题，就是返回一个集合所有的子集。为什么叫幂集呢？因为一个集合有n个元素，那么它的所有的子集数是2^n个。比如[1,2,3]的子集是[]，[1]，[2]，[3]，[1,2]，[1,3]，[2,3]，[1,2,3]。
也就是下面这棵树的叶子节点：
那问题就变成了如何输出一棵树的叶子节点。那就需要知道现在到底遍历到哪一层了。方法有很多，可以用全局变量记录，也可以用递归函数的参数记录。
A）这里是用全局变量记录，在进入函数的时候level++，退出函数的时候level--
int level=0;
vector<vector<int> > result;
vector<int> temp;
void dfs(vector<int>& S){
level++;
if(level>S.size()){
result.push_back(temp);
level--;
return;
}
temp.push_back(S[level-1]);
dfs(S);
temp.pop_back();
dfs(S);
level--;
return;
}
vector<vector<int> > subsets(vector<int>& S){
sort(S.begin(),S.end());
dfs(S);
reverse(result.begin(),result.end());
return result;
}
B）这里记录层数用的是函数参数
vector<vector<int> > result;
vector<int> temp;
void dfs(vector<int>& S, int i){
if(i==S.size()){
result.push_back(temp);
return;
}
temp.push_back(S[i]);
dfs(S,i+1);
temp.pop_back();
dfs(S,i+1);
return;
}
vector<vector<int> > subsets(vector<int>& S){
dfs(S,0);
reverse(result.begin(),result.end());
return result;
}
总结一下，伪代码就是：
void dfs(层数){
if(条件){
输出；
}
else{
左子树的处理；
dfs(层数+1)；
右子树的处理；
dfs(层数+1)；
}
}
例二：皇后问题，比如8*8的棋盘，能摆放多少个皇后呢？国际象棋规则，皇后在同一行，同一列，同一斜线均可互相攻击。
伪代码如下：
int a[n];
void try(int i)
{
if(i==n){
输出结果;
}
else
{
for(j = 下界; j <= 上界; j=j+1) // 枚举i所有可能的路径
{
if(fun(j)) // 满足限界函数和约束条件
{
a[i] = 1;
... // 其他操作
try(i+1);
a[j] = 0;
}
}
}
}
根据伪代码，写出最关键的一段代码如下。其中vector<vector<int> > m是全局变量，用来记录遍历轨迹，遍历前设上值，遍历后去掉。每一次调到output的时候，所有压入栈中的函数返回，都会调到m[level][i]=0;
void dfs(int level){
if(level==N){
output();
}
else{
for(int i=0;i<N;i++){
if(check(level+1,i+1)){
m[level][i]=1;
dfs(level+1);
m[level][i]=0;
}
}
}
}
完整代码：
int N;
vector<vector<int> > m;
vector<vector<string> > result;
bool check(int row,int column){
if(row==1) return true;
int i,j;
for(i=0;i<=row-2;i++){
if(m[i][column-1]==1) return false;
}
i = row-2;
j = i-(row-column);
while(i>=0&&j>=0){
if(m[i][j]==1) return false;
i--;
j--;
}
i = row-2;
j = row+column-i-2;
while(i>=0&&j<=N-1){
if(m[i][j]==1) return false;
i--;
j++;
}
return true;
}
void output()
{
vector<string> vec;
for(int i=0;i<N;i++){
string s;
for(int j=0;j<N;j++){
if(m[i][j]==1)
s.push_back('Q');
else
s.push_back('.');
}
vec.push_back(s);
}
result.push_back(vec);
}
void dfs(int level){
if(level==N){
output();
}
else{
for(int i=0;i<N;i++){
if(check(level+1,i+1)){
m[level][i]=1;
dfs(level+1);
m[level][i]=0;
}
}
}
}
vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {
N=n;
for(int i=0;i<n;i++){
vector<int> a(n,0);
m.push_back(a);
}
dfs(0);
return result;
}
例三：数独问题，就是给出一个数独，解决它。
比如给出：
求解：
解空间是这样的：
由于数独都是9*9的，所以解空间有81层，每层有9个分支，我们做的就是遍历这个解空间。
如果只求一个解，那我们可以在得到解之后返回，而标记是否得到解可以用全局变量或返回值来做，
用全局变量的话，代码如下：
bool flag= false;
bool check(int k, vector<vector<char> > &board){
int x=k/9;
int y=k%9;
for (int i = 0; i < 9; i++)
if (i != x && board[i][y] == board[x][y])
return false;
for (int j = 0; j < 9; j++)
if (j != y && board[x][j] == board[x][y])
return false;
for (int i = 3 * (x / 3); i < 3 * (x / 3 + 1); i++)
for (int j = 3 * (y / 3); j < 3 * (y / 3 + 1); j++)
if (i != x && j != y && board[i][j] == board[x][y])
return false;
return true;
}
void dfs(int num,vector<vector<char> > &board){
if(num==81){
flag=true;
return;
}
else{
int x=num/9;
int y=num%9;
if(board[x][y]=='.'){
for(int i=1;i<=9;i++){
board[x][y]=i+'0';
if(check(num,board)){
dfs(num+1,board);
if(flag)
return;
}
}
board[x][y]='.';
}
else{
dfs(num+1,board);
}
}
}
void solveSudoku(vector<vector<char> > &board) {
dfs(0,board);
}
用返回值的话，关键部分做一下修改就可以了：
bool f(int i, vector<vector<char> > &board){
if(i==n*m)
return true;
if(board[i/n][i%m]=='.'){
for(int k=1;k<=9;k++){
board[i/n][i%m]=k+'0';
if(check(i,board) && f(i+1,board))
return true;
}
board[i/n][i%m]='.';
return false;
}
else
return f(i+1,board);
}
要求得到所有解的话，可以在解出现的时候存下来：
vector<vector<vector<char> >> sum;
bool check(int k, vector<vector<char> > &board){
int x=k/9;
int y=k%9;
for (int i = 0; i < 9; i++)
if (i != x && board[i][y] == board[x][y])
return false;
for (int j = 0; j < 9; j++)
if (j != y && board[x][j] == board[x][y])
return false;
for (int i = 3 * (x / 3); i < 3 * (x / 3 + 1); i++)
for (int j = 3 * (y / 3); j < 3 * (y / 3 + 1); j++)
if (i != x && j != y && board[i][j] == board[x][y])
return false;
return true;
}
void dfs(int num,vector<vector<char> > &board){
if(num==81){
sum.push_back(board);
return;
}
else{
int x=num/9;
int y=num%9;
if(board[x][y]=='.'){
for(int i=1;i<=9;i++){
board[x][y]=i+'0';
if(check(num,board)){
dfs(num+1,board);
//if(flag)
// return;
}
}
board[x][y]='.';
}
else{
dfs(num+1,board);
}
}
}
void solveSudoku(vector<vector<char> > &board) {
dfs(0,board);
}
int main()
{
vector<string> myboard({"...748...","7........",".2.1.9...","..7...24.",".64.1.59.",".98...3..","...8.3.2.","........6","...2759.."});
vector<char> temp(9,'.');
vector<vector<char> > board(9,temp);
for(int i=0;i<myboard.size();i++){
for(int j=0;j<myboard[i].length();j++){
board[i][j]=myboard[i][j];
}
}
solveSudoku(board);
for(int k=0;k<sum.size();k++){
for(int i=0;i<sum[k].size();i++){
for(int j=0;j<sum[k][i].size();j++){
cout<<sum[k][i][j]<<" ";
}
cout<<endl;
}
cout<<"######"<<endl;
}
cout<<"sum is "<<sum.size()<<endl;
cout << "Hello world!" << endl;
return 0;
}
最终，我们得到了8个解。
wiki上有一张图片形象的表达了这个回溯的过程：
