BNDM 算法

　　最近在研究一些字符串匹配算法，也是由于工作上的需要，强力推荐一本书《柔性字符串匹配》，一本很好的书。网上可以随时搜索到。还是说正题吧。

BNDM算法的思想来源于BDM算法思想，类似于shitf-and和kmp之间的区别吧（也不知道是不是准确，有错望大家多指点）。前者都是用位运算模拟后者。好了，那就先介绍一下BDM算法吧！

　　BDM是基于子串搜索方法，其难点在于怎么搜索子串，书中引入了后缀自动机。对于后缀自动机，我其实没有足够的把握理解它，姑且就当它为一个工具就是了，提供一些状态跳转罢了。现在简单介绍一下它的功能和怎么识别子串。对于这个自动机的实现书上说用一种叫compact suffix tree结构，这些由于时间关系同时这也不是我的重点，故没有去理解。

书中提到后缀自动机的三个性质如下：

　　第一：字符串u是p（模式串）的一个子串当且仅当p的后缀自动机中存在一条初始状态开始的标号为u的路径。（理解这句话）。

　　第二：自动机可以识别模式串的所有后缀，从初始状态到某个终止状态的路径上的字符组成的字符串是模式串p的一个后缀。

　　第三：模式串p=p₁p₂...p_m对应的后缀自动机【用SA（p₁p₂...p_m）表示】可以通过在线的方法在o（0）时间内构建完成，即依次将p_j添加到SA（p₁p₂...p_j-1）上，构造SA（p₁p₂...p_j）。

^{搜索算法：}先构建p的反串即p_mp_m-1...p1的后缀自动机，因为我们是从后向前匹配，搜索模式串的子串。在搜索过程中如果到达了一个终止状态，并且对应的串不是整串p，会得到^pm^pm-1...^p1后缀，即p₁p2...pm的前缀，我们将它在窗口中的位置保存在last中，根据性质2，是当前（可不可以更新？不可以！）最长前缀（这是重点）。它是从位置last开始，到窗口末端结束。这种反向搜索有两种结束方式：

　　第一种：识别子串失败，读入的字符σ，在这后缀自动机的当前状态没有σ的转移。这个窗口向右移动，使它起始位置和last对齐。这样移动窗口不会遗漏任何可能的匹配，（因为我们识别的已经是最长的前缀，不然σ定匹配，因为由于性质2得到的）。

　　第二种：抵达窗口的起始位置，模式串成功匹配，报告成功，并且像第一种方式移动窗口，使它起始位置和last对齐，因为last最长前缀。

见书本上的图：

理解了BMD算法，现在理解BNDM算法，

　　BNDM算法和Shift-And算法类似，维护一个集合，这个集合用一个向量D来表示。如果p_j...p_j+u-1等于u，那么D的第m-j+1位是1，表示p的位置j是一个活动状态。书上的表示这种关系。

表的更新时

当读入新字符σ时，D要更新到D´，D´的一个活动状态j对应于σu在模式串的一个起始位置，也就是说

u出现在模式串的位置j+1，即D的j+1位是活动的，σ在模式串j处出现，从而可以得到表D更新

D´=（D<<1）&B[σ]。

还要注意初始化，因为为了表示空串和模式串的任何位置都匹配，这样D=1^m，不然会丢失第一个子串。也可将D大小初始化 为m+1。也可以拆分公式：第一部分D´=D&B[σ],然后在移位D´=D´<<1.其中表B和上面的shift-and类似，可以参考我文章中的shift-and。来理解表B的构建。

见书上伪代码：

自己根据伪代码写的源代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include <string>
 3 #include <vector>
 4 #include <cmath>
 5
 6 using namespace std;
 7
 8 void matchString(const string& vSrcStr, const string& vPatternStr, vector<int>& voMatchPosVec)
 9 {
10     //preprocessing
11     int SrcStrLen = vSrcStr.size();
12     int PatternStrLen = vPatternStr.size();
13     unsigned int BitMask[256] = {0};
14
15     for (int i=0; i<PatternStrLen; i++)
16     {
17         BitMask[vPatternStr[i]] |= 1<<(PatternStrLen-i-1);
18     }
19
20     //searching
21     int Pos = 0;
22     while(Pos <= SrcStrLen-PatternStrLen)
23     {
24         int JPos = PatternStrLen;
25         int LastPos = PatternStrLen;
26         unsigned int DMask = (unsigned int) pow(2.0,PatternStrLen)-1;
27         unsigned int MonitorPos = (unsigned int) pow(2.0,PatternStrLen)-1;        //设置防止左移时，高位对判断的影响
28         while (DMask&MonitorPos)
29         {
30             DMask = DMask&BitMask[vSrcStr[Pos+JPos-1]];
31             JPos = JPos-1;
32             if (DMask&(1<<(PatternStrLen-1)))
33             {
34                 if(JPos>0)
35                 {
36                     LastPos = JPos;
37                 }
38                 else
39                 {
40                     voMatchPosVec.push_back(Pos);
41                 }
42             }
43             DMask = DMask<<1;
44         }
45         Pos = Pos+LastPos;
46     }
47 }
48
49 int main()
50 {
51     string SrcStr = "aaaaabaaa";
52     string PatternStr = "a";
53
54     vector<int> MatchPosVec;
55
56     matchString(SrcStr, PatternStr, MatchPosVec);
57
58     for(vector<int>::iterator Ix=MatchPosVec.begin(); Ix!=MatchPosVec.end(); Ix++)
59     {
60         cout<<*Ix<<endl;
61     }
62
63     system("pause");
64     return 0;
65 }

如果有错误希望大家指出。