主成分分析与白化预处理

上一节介绍了主成分分析应用于2维数据。现在使用高维的图像数据来试试效果。

原始图像如图1所示。

图1

每个图片都是12*12的小patch，原始数据是一个144*10000的矩阵x。

在使用了PCA旋转之后，可以检查一下此时的协方差矩阵是否已经成功变成对角阵了，如图2所示。

avg=mean(x,1);
x=x-repmat(avg,size(x,1),1);
xRot = zeros(size(x)); % You need to compute this
[u,s,v]=svd(x*x'/size(x,2));
xRot=u'*x;
covar = zeros(size(x, 1)); % You need to compute this
covar=xRot*xRot'/size(xRot,2);
figure('name','Visualisation of covariance matrix');
imagesc(covar);</span>

图2

接下来我们需要找到使得图片方差保持在90%以上的k值。即取协方差矩阵最大的k个特征值用来后面降维。

k = 0; % Set k accordingly
partial=0;
total=sum(diag(s));
for k=1:size(x,1)
partial=partial+s(k,k)/total;
if partial>0.9
break;
end
end</span>

这个k值是43。如果要求保持99%的样本方差，则k取116。

确定了k值之后，就可以用PCA降维了。

xHat = zeros(size(x));
xHat=u(:,1:k)*u(:,1:k)'*x;</span>

可视化一下，可以看到用43个特征来重构出144维图片的效果，还是不错的。如图3。

图3

而如果像前文所说，取能保持99%的k值116的话，效果会更好，如图4。

图4

接下来还可以进行PCA白化。

epsilon = 0.1;
xPCAWhite = zeros(size(x));
xPCAWhite=diag(1./sqrt(diag(s)+epsilon))*u'*x;</span>

然后我们验证一下白化之后的新的协方差矩阵是否是对角阵，如图5。

covar = zeros(size(xPCAWhite, 1)); % You need to compute this
covar=xPCAWhite*xPCAWhite'/size(xPCAWhite,2);
figure('name','Visualisation of covariance matrix');
imagesc(covar);</span>

图5

最后是ZCA白化的处理效果，可以看出ZCA在不降维的情况下，通过变换将原始数据的边缘提取了出来，如图6。

xZCAWhite = zeros(size(x));
xZCAWhite=u*xPCAWhite;
figure('name','ZCA whitened images');
display_network(xZCAWhite(:,randsel));
figure('name','Raw images');
display_network(x(:,randsel));

图6

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