矩阵乘法的计算

矩阵，是线性代数中的基本概念之一。一个m×n的矩阵就是m×n个数排成m行n列的一个数阵。

矩阵乘法是一种高效的算法可以把一些一维递推优化到log(n)，还可以求路径方案等，所以更是一种应用性极强的算法。必须注意的是，只有当矩阵A的列数与矩阵B的行数相等时A×B才有意义。

一般单说矩阵乘积时，指的便是一般矩阵乘积。若A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，则他们的乘积AB(有时记做A·B）会是一个m×p矩阵。其乘积矩阵的元素如下面式子得出：

上面是一个通过代数公式的方式说明这类乘法的抽象性质，有些抽象，下面从一个具体图的角度看看这种乘法：

在上图中，A是个4×2矩阵，B是个2×3矩阵。分别计算AB的（1,2）和（3,3）元素的值，结果可以根据上图中箭头方向两两配对，把每一对中的两个元素相乘，再把这些乘积加起来，最后得到的值即为箭头相交位置的值。

这样在从直观的图中转换为稍微抽象点的公式中，则对应的计算方式为：

不知道CSDN怎么编辑数学公式，就先从百度百科里摘两个例子：

矩阵乘法的来源

在矩阵的运算中，矩阵的加法、数与矩阵的积，都与实数或向量的对应运算一致，易于接受掌握。唯独矩阵乘法，与之相差悬殊。初学时感觉莫名其妙，难以接受。扬天哀呼，为啥这么算呢？

来举个简单的例子：

设A₁,A₂,...,A_m是m个工厂，它们都生产着n种产品B₁,B₂,...,B_m，而A_i厂生产B_j的年产量为a_ij,i=1,2,…,m;j=1,2,...,n。于是，对照每个工厂各种产品年产量的统计表和产量矩阵就出来了：

如果第二年各厂各种产品的产量都是前一年的λ倍,就是数乘矩阵λA的意义。如果计算各厂各种产品两年的总产量，就用到了矩阵的加法。

接上例，设产品B₁,B₂,...,B_n皆需p种原料C₁,C₂,...,C_p，而生存一件Bk所需原料Cj的数量为b_kj，于是，统计各种产品每件所需的原料数表和单间原料矩阵为：

现在需要计算各厂每年所需各种原料的总是，设Ai长一年所需原料C_j的总数为c_ij，则各厂一年所需各种原料总数统计表和原料总数矩阵为：

到这一步，基本上可以想到，c_ij（i厂需材料j的原料数量）等于i厂各个产品的年产量乘上该产品所需j原料的数量的和，简单点说就是一年所需总料数=年产量×单间所需原料数，用公式表达就是：

从上面的例子可以看出，关于矩阵的乘法，并非空穴来风、无源之水，而是有它必然产生的缘由。充分说明了数学是来源于生活，之所以与生活相差较大，只是因为在语言、符号演化过程中，数学进化的方向是趋向于抽象和一般。