HDU 2255 奔小康赚大钱 KM算法的简单解释

KM算法一般用来寻找二分图的最优匹配。

步骤：

1.初始化可行标杆

2.对新加入的点用匈牙利算法进行判断

3.若无法加入新编，修改可行标杆

4.重复2.3操作直到找到相等子图的完全匹配。

各步骤简述：

1.根据二分图建立2个可行标杆;

lx为x的可行标杆，初始化lx[i]为与i点相连的最大边

ly为y的可行标杆，初始化为0.

可行性的判断条件应为lx[x]+ly[y] >= Map[x][y]。

2.对于新加入的点用匈牙利算法经行判断，确定改点能否加入旧子图中，形成新子图。

对于该加入的点有两种可能：

2.1.找到某个y点，该y点为被连接，则与该点相连，并符合条件

2.2找到某个y点，该y点已经被某x1点所连接，则对x1点经行深搜，若x1可以找到新的连接点，则修改x1的连接路径，并使x点与y点相连。

3.如果发现无法再向已有的相等子图中加入边，则证明不再有lx[x]+ly[y]==Map[x][y]成立，那么我们对x和y的可行标杆经行修改。

当找不到增广路径时，对于搜索过的路径上的XY点，设该路径上的X顶点集为S，Y顶点集为T，对所有在S中的点xi及不在T中的点yj，计算d=min{(L(xi)+L(yj)-weight(xiyj))}，从S集中的X标杆中减去d，并将其加入到T集中的Y的标杆中，由于S集中的X标杆减少了，而不在T中的Y标杆不变，相当于这两个集合中的lx(x)+ly(y)变小了，也就是，lx[x]+ly[y]将变小，便有可能有lx[x]+ly[y]==Map[x][y]成立，即可能会加入新的边。

4.重复2.3过程，知道找到完备相等子图为止。

时间复杂度：优化后大概为O（n^3）;

代码：

#include<cstdio>
#include<stdio.h>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f
#define MAX 1005
#define mod 1000000007

using namespace std;

int visx[MAX],visy[MAX],lx[MAX],ly[MAX],linker[MAX],slack[MAX],Map[MAX][MAX],n;

bool DFS(int x)
{
    visx[x]=1;
    for(int y=1;y<=n;y++)
    {
        if(visy[y])
            continue;
        int tmp=lx[x]+ly[y]-Map[x][y];
        if(tmp==0)
        {
            visy[y]=1;
            if(linker[y]==-1 || DFS(linker[y]))
            {
                linker[y]=x;
                return true;
            }
        }
        else
        {
            slack[y]=min(slack[y],tmp);
        }
    }
    return false;
}

int KM()
{
    int i,j;
    memset(ly,0,sizeof(ly));//初始化可行标杆ly
    memset(linker,-1,sizeof(linker));
    for(i=1; i<=n; i++)//初始化可行标杆lx
    {
        lx[i]=-INF;
        for(j=1; j<=n; j++)
            lx[i]=max(lx[i],Map[i][j]);
    }

    for(int x=1; x<=n; x++)
    {
        for(i=1; i<=n; i++)
            slack[i]=INF;
        while(1)
        {
            memset(visx,0,sizeof(visx));
            memset(visy,0,sizeof(visy));
            if(DFS(x))//若可加入直接跳出
                break;
            int d=INF;
            for(i=1; i<=n; i++)
            {
                if(!visy[i])
                    d=min(slack[i],d);//否则根据贪心的思想，找到最小的可行标杆修改值
            }
            for(i=1; i<=n; i++)//修改lx标杆
            {
                if(visx[i])
                    lx[i]-=d;
            }
            for(i=1; i<=n; i++)//修改ly标杆
            {
                if(visy[i])
                    ly[i]+=d;
                else
                    slack[i]-=d;//slack由lx[x]+ly[y]-Map[x][y]而来;ly中未标记过的值不变，lx中已标记过的值减少，则slack应减少
            }
        }
    }
    int ans=0;
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        ans+=Map[linker[i]][i];
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while(scanf("%d",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            for(int j=1; j<=n; j++)
                scanf("%d",&Map[i][j]);
        }

        int ans=KM();
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}