待字闺中之死亡小岛分析

一个小岛，表示为一个N×N的方格，从(0,0)到(N-1, N-1)，一个人站在岛上，位置(x, y)，他可以上下左右走，一步一个格子，他选择上下左右的可能性是一样的。当他走出小岛，就意味着死亡。假设他要走n步，请问他死亡的概率有多大？请写出求解代码。

分析

遇到这样的问题，就试着走几步好了。当一个人在(x,y)的时候，假设他此时，死亡的概率为p(x,y,n)，然后，他有四种选择，而且是可能性相同，就是说，选择上下左右的概率都是1/4：

选择上边，死亡的概率是多少呢？此时位置为(x, y-1)，剩余的步数为n-1,则概率为p(x, y - 1, n - 1)

选择下边同理：概率为p(x, y + 1, n - 1)

选择左边同理：概率为p(x - 1, y, n - 1)

选择右边同理：概率为p(x + 1, y, n - 1)

则，p(x,y,n)=(p(x, y - 1, n - 1) + p(x, y + 1, n - 1) + p(x - 1, y, n - 1) + p(x + 1, y, n - 1))/4，可以表达出递归的形式。

这个题目，看似比较复杂，但是尝试走一步，之后，写出递归表达式了，就比较简单了。递归终止的条件，只要x或者y，满足了小于0或者大于n-1的时候，p=1。具体代码如下：

struct position//记录当前的位置和还需要走的步数
{
	int x;
	int y;
	int n;
	position(int a,int b,int c):x(a),y(b),n(c){}
	friend bool operator<(const position lhs,const position& rhs);//比较函数不能是成员函数，<a target=_blank href="http://www.cnblogs.com/kevintian/articles/1277700.html">具体参考该链接</a>
};
bool operator<(const position lhs,const position& rhs)
{
	return lhs.x < rhs.x;
}
double TheDieIsland(int N,int x,int y,int n,map<position,double>& hashMap)
{
	position p(x,y,n);
	map<position,double>::iterator iter = hashMap.find(p);
	if(iter != hashMap.end())return hashMap[p];//防止递归时重复计算，类似于动态规划的思想
	if( x < 0 || y < 0 || x > N-1 || y > N-1)
	{
		return 1;
	}
	if( n == 0)
	{
		return 0;
	}
	double probability = (TheDieIsland(N,x-1,y,n-1,hashMap)+TheDieIsland(N,x,y-1,n-1,hashMap)+TheDieIsland(N,x+1,y,n-1,hashMap)+TheDieIsland(N,x,y+1,n-1,hashMap))*0.25;
	hashMap[p] = probability;//保存已经获得的结果
	return probability;

}
double TheDieIsland(int N,int x,int y,int n)
{
	if(x < 0 || x > N-1 || y < 0 || y > N-1 || n < 0 || N <= 0)return 0;
	map<position,double> hashMap;
	return TheDieIsland(N,x,y,n,hashMap);
}

如有问题，请指正，谢谢

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