组合数学部分知识点

数学

1.质数，log，二分，题设证明

2.容斥原理 错排公式

3.与一个数a互质，必然是c+ka，c为a以内与a 互质的数字。Happy 2006

4.对于任意的整数n，必然存在一个由不多于两个的数来组成的一个倍数。因为a，aa，aaa……取n+1个，则必有两个模n余数相同，相减即得n的倍数m。而m只由a、0组成。5.对于大的数字，一般用同模定理缩减规模 (a+b)%m=a%m+b%m,(a*b)%m=a%m*b%m

组合数学

加法乘法原理 分类，分步

错排公式 D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]

第一步，把第n个元素放在一个位置，比如位置k，一共有n-1种方法；

第二步，放编号为k的元素，这时有两种情况：⑴把它放到位置n，那么，对于剩下的n-1个元素，由于第k个元素放到了位置n，剩下n-2个元素就有D(n-2)种方法；⑵第k个元素不把它放到位置n，这时，对于这n-1个元素，有D(n-1)种方法；

/*
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求得是n个数中，有多少组(a,b,c,d)的公约数为1，值得注意的是这四个数不一定两两互质。  
所以我们从它的反面考虑，先求出公约数不为1的个数。  
思路：把每个数素数分解，记录不重复素因子所能组成的因子，把这些因子的总数统计，并且统计每个因子是由多少个素因子组成  
如这n个数中含2的个数为a,含3的个数为b,含6的个数为c,那么公约数大于1的总数为p=c(a,4)+c(b,4)-c(c,4),总的个数为c(n,4)  
用c(n,4)-p即为所求
*/

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#define MAXN 10000+100

__int64 A[MAXN];
__int64 B[MAXN];
__int64 C[MAXN];
__int64 P[MAXN];
__int64 N;
__int64 num;
__int64 yz;

void dfs()
{
	__int64 i,j;
	__int64 temp,k;

	yz=0;
	for(i=2;i*i<=num;i++)
	{
		if(num%i==0)
		{
			C[yz++]=i;
			while(num%i==0)
				num/=i;

		}
	}
	if(num>1) C[yz++]=num;//C中存放质因子
	for(i=1;i<(1<<yz);i++)
	{
		k=0;temp=1;//排列组合所有质因子，组合成的因子。每一位代表一个因子的C中下标
		for(j=0;j<yz;j++)
			if(i&(1<<j))//判断有哪位就相乘
			{
				k++;
				temp*=C[j];
			}
		B[temp]++;//记录这个因子有多少个
		A[temp]=k;//记录这个因子由几个质因子组成
	}

}

int main()
{
	__int64 i;
	__int64 ans;
	memset(P,0,sizeof(A));
	for(i=4;i<MAXN;i++)
	{
		P[i]=i*(i-1)*(i-2)*(i-3)/24;
	}
	while(scanf("%d",&N)!=EOF)
	{
		memset(B,0,sizeof(A));

		for(i=0;i<N;i++)
		{
			scanf("%d",&num);
			dfs();
		}
		ans=0;
		for(i=2;i<MAXN;i++)
			if(B[i])//容斥原理,奇相加。偶相减
			{
				if(A[i]%2)
					ans+=P[B[i]];
				else
					ans-=P[B[i]];
			}
		ans=P[N]-ans;
        printf("%I64d\n",ans);

	}
	return 0;
}