实现斐波拉契数列：1,1,2,3,5,8...，当n>=3时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)。
解：求解斐波拉契数列方法很多，这里提供了4种实现方法和代码，由于第5种数学公式方法代码太过繁琐，只做简单介绍
方法一：递归调用,每次递归的时候有大量重复计算，效率低，可将其调用的过程转化成一颗二叉树进行分析，二叉树的总结点个数不超过(2^n-1)个，由于其是不完全二叉树，那么函数计算的次数必小于(2^n-1)，时间复杂度为O(2^n)；递归调用的深度为n,空间复杂度为O(n)
方法二：非递归数组方式,循环中仍然有重复计算，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)
方法三：非递归循环方式，将前两项的计算结果保存起来，无重复计算，时间复杂度为O(n)，空间复杂度为O(1)
方法四：直接利用数学公式法：f(n)={[(1+5^0.5)/2]^n - [(1-5^0.5)/2]^n}/(5^0.5)，时间复杂度为O(1)，空间复杂度为O(1)
实现代码如下：
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
//方法一：递归调用,有大量重复计算，效率低
long long Fibonacci1(int n)
{
return (n < 2) ? n : Fibonacci1(n - 1) + Fibonacci1(n - 2);
}
//方法二：非递归数组方式,循环中仍然有重复计算
long long Fibonacci2(int n)
{
long long *fibArray = new long long[n + 1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
}
long long ret = fibArray[n];
delete[] fibArray;
return ret;
}
//方法三：非递归循环方式，将前两项的计算结果保存起来，无重复计算
long long Fibonacci3(int n)
{
long long fibArray[3] = { 0, 1, n };//给fibArray数组赋初值
for (int i = 2; i <= n; i++)
{
fibArray[2] = fibArray[1] + fibArray[0];
fibArray[0] = fibArray[1];
fibArray[1] = fibArray[2];
}
return fibArray[2];
}
//方法四：直接利用数学公式法：f(n)={[(1+5^0.5)/2]^n - [(1-5^0.5)/2]^n}/(5^0.5)
long long Fibonacci4(int n)
{
return (pow((1 + sqrt(5.0)) / 2, n) - pow((1 - sqrt(5.0)) / 2, n)) / sqrt(5.0);
}
//测试代码
int main()
{
int num = 0;
int ret = 0;
cout << "请输入斐波拉契数列的序号:";
cin >> num;
ret = Fibonacci1(num);
/*ret = Fibonacci2(num);*/
/*ret = Fibonacci3(num);*/
/*ret = Fibonacci4(num);*/
cout << ret << endl;
system("pause");
return 0;
}
方法5：生僻的数学公式法
f(n) f(n-1) 1 1
[ ] = [ ]^(n-1)
f(n-1) f(n-2) 1 0
该公式可用数学归纳法进行证明，在矩阵乘法的变换证明过程中，要注意运用斐波拉契数列的性质：后一项为前面两项之和；该数学公式，应用矩阵的乘法，时间复杂度仅为O(log n),时间效率虽然低，但不够实用，源码太过繁琐，参考剑指0ffer面试题9的源码