从二叉排序树到平衡二叉树再到红黑树系列2

上篇博客主要讲述了二叉排序树的基本概念和插入删除操作，必须再次说明的是：在一棵高度为h的二叉排序树上，实现动态集合操作查询,插入和删除的运行时间均为O(h)。

可见二叉树的基本操作效率取决于树的形态，当然树的高度越低越好，显然树分布越均匀，高度越低。那么，问题来了？对于给定的关键字序列，如何构造一棵形态匀称的二叉排序树。这种匀称的二叉排序树就称为平衡二叉树。

平衡二叉树定义：平衡二叉树或为空树，或其上任意一个节点，节点的左右子树高度差不超过1.     通常将二叉树上所有结点的左右子树的高度之差称为平衡因子。

构造平衡二叉树的常用算法有AVL树和红黑树等。其中，AVL树保持平衡的机制是靠平衡因子和旋转，而红黑树保持平衡的机制是靠 节点颜色约束和旋转，事实上，红黑树并不追求完全平衡，只能算部分平衡：没有路径能多余其他路径2倍长，但红黑树能以O(log2 n)的时间复杂度进行查询删除插入操作。 本篇博客先介绍AVL，下篇博客再讲解红黑树。

构造AVL树的基本思想：每当插入一个新结点时，首先检查是否因插入而破坏了树的平衡性；在保持二叉排序树的特性同时，(也就是说平衡二叉树得首先保证它是二叉排序树)调整最小不平衡子树各结点之间的指向，以达到新的平衡。<所谓最小不平衡子树就是指离插入点最近，且平衡因子大于1的结点作为根的子树，简而言之：就是从新插入结点位置开始向根节点寻找，第一个由平衡变为不平衡的结点>

与二叉排序树相比，平衡二叉树插入节点后还要保证插入后既要保证有序，又要保证平衡。那么保证的方法就是：旋转

插入新节点N导致平衡二叉树不再平衡，最小不平衡子树的根为A，插入位置不同，插入后调整节点平衡因子和指向也不同。可以归纳为如下4种情况（如图所示）：

注：图中节点用圈表示，子树用长方形表示，代表不止一个结点，可能一个，可能多个节点，长方形长度代表子树高度。红色标记为指针指向变化示意。

1> LL，新插入节点在A左孩子的左子树上：右旋，如图所示，当新添加节点N时，节点A的平衡因子bf（blancefactor）由1变为2，为了书写清晰直观描述为：A.bs = 1-->2(以下格式同)  而B.bs = 0--->1。为了保持平衡，这时需要节点A需要绕B向右旋转。

形象点说，就是指节点A本来就已经快要不平衡了（bs=1，左子树比右子树高），这个时候其左子树又添加一个结点，这不是压死骆驼的最后一根稻草么。。。这个时候就需要让树往右边旋转，降低节点A的高度。而节点B 添加N之前 bs=0，表示还有承受能力，这个时候给它加加担子，让他由小兵变将军，升到根节点去，这样树就变为平衡了。废话有点多，但是好理解。具体调整过程见代码。

//右旋转处理函数
void R_Rotate( BSTree &p)
{
	BSTree lc;
	lc=p->lchild;
	p->lchild=lc->rchild;
	lc->rchild=p;
	p=lc;
}

2>RR，新插入节点在A右孩子的右子树上：左旋；如图所示。和右旋原理类似，本来右子树就高，再来一节点，不得不左旋。

//左旋转处理函数
void L_Rotate(BSTree &p)
{
	BSTree rc;
	rc=p->rchild;
	p->rchild=rc->lchild;
	rc->lchild=p;
	p=rc;
}

3>LR，新插入节点在A左子树的右子树上，先左旋再右旋，准确点说是在A左子树的右子树的（左子树或右子上）

相比于操作1>和操作2>,操作3>相对复杂。这样操作的原因在于：插入新的节点N之前，根节点A和其左子树根节点B都是平衡因子不为0的节点：也就是说A.bf=1 B.bf=-1;

即他们与不平衡只差一步之遥了，再添加一个节点，且都是添加在他们的A的左子树，B的右子树的左子树下，他们要被压死了，这个时候，根节点A对子节点B说，你来当根节点。B一看，我的不平衡因子也不是0，没法当啊；于是，B左旋，把C顶上去。对A说，我不能当根节点，但是C可以，于是，再一次绕C右旋转，A下来，C当上了根节点。

，为什么C能当根节点？因为添加前C的平衡因子为0，即使添加一个节点后，它与不平衡依然还有一步之遥。

具体过程见代码

//插入操作时左平衡旋转处理函数---包含平衡因子的修改
void LeftBalance(BSTree &T)
{
	BSTree lc,rd;
	lc=T->lchild;
	switch(lc->bf)    //检查T的左子树的平衡度，判断是操作1>还是操作3>,并作相应的平衡处理
	{
		case LH:      //操作1>:做单右旋处理
				T->bf=lc->bf=EH;//1 新结点插入在T的左子树上，先修改平衡因子再右旋
			    R_Rotate(T);
				break;
		case RH:      //操作3>
				rd=lc->rchild;//-1 新结点插入在T的左孩子的右子树上，
				switch(rd->bf)
				{	//修改T及左孩子的平衡因子
					case LH:T->bf=RH;//新节点插在rd下作为左子树
							lc->bf=EH;//
							break;
					case EH:T->bf=lc->bf=EH;//
							break;
					case RH:T->bf=EH;//新节点插在rd下作为右子树
							lc->bf=LH;
							break;
				}

				rd->bf=EH;
				L_Rotate(T->lchild);//对T的左子树左旋处理
				R_Rotate(T);//再对T做右旋处理
	}
}

4>RL,新插入节点在A右子树的左子树上，先右旋再左旋。过程和LR是类似的，不再赘述。

直接贴代码

//插入操作时右平衡旋转处理函数
void RightBalance(BSTree &T)
{
	BSTree rc,ld;
	rc=T->rchild;
	switch(rc->bf)     //检查T的右子树的平衡度，并作相应的平衡处理
	{
		case RH:T->bf=rc->bf=EH;
			    L_Rotate(T);
				break;
		case LH:ld=rc->lchild;
				switch(ld->bf)
				{
					case LH:T->bf=EH;
							rc->bf=RH;
							break;
					case EH:T->bf=rc->bf=EH;
							break;
					case RH:T->bf=LH;
							rc->bf=EH;
							break;
				}
				ld->bf=EH;
				R_Rotate(T->rchild);
				L_Rotate(T);
	}
}