LG P3978 [TJOI2015]概率论

题意描述

为了提高智商,ZJY开始学习概率论.有一天,她想到了这样一个问题:对于一棵随机生成的\(n\)个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现),它的叶子节点数的期望是多少呢?
判断两棵树是否同构的伪代码如下:

\(\text{CHECK}(T1,T2):\)
\(//\text{两棵树的节点}T1,T2\)
\(\mathbf{if}\ T1=\mathbf{NULL}\ \mathbf{or}\ T2=\mathbf{NULL}:\)
\(\quad \mathbf{return}\ T1=\mathbf{NULL}\ \mathbf{and}\ T2=\mathbf{NULL}\)
\(\mathbf{else}:\)
\(\mathbf{return}\ \text{CHECK}(T1.leftson,T2.leftson)\ \mathbf{and}\ \text{CHECK}(T1.rightson,T2.rightson)\)

分析

首先,我们令\(f_n\)表示\(n\)个点的二叉树个数;\(g_n\)表示\(n\)个点的所有\(f_n\)棵二叉树的叶节点总数.

找规律第一步当然是打表啦~写个爆搜或者手算都可以.

n 1 2 3 4 5 ...
\(f_n\) 1 2 5 14 42 ...
\(g_n\) 1 2 6 20 70 ...

我们发现一个规律:\(g_n\)=\(nf_{n-1}\).

证明这个规律其实超级简单:

  • 对于每棵\(n\)个点的二叉树,如果里面有\(k\)个叶节点,那么我们分别把这\(k\)个叶子删去会得到\(k\)棵\(n-1\)个点的二叉树;
  • 而每棵\(n-1\)个点的二叉树恰好有\(n\)个位置可以悬挂一个新的叶子,所以每棵\(n-1\)个点的二叉树被得到了\(n\)次;
  • 综上,我们即可得出结论:所有\(n\)个点的二叉树的叶子个数和等于\(n-1\)个点的二叉树个数\(\times n\).

那么我们只需要求出\(f\)即可.而\(f\)的递推式可以通过枚举左子树结点个数得到:
\[
f_n=\sum_{i=1}^{n-1}f_if_{n-i-1}
\]
边界是\(f_1=1\).应该可以一眼看出来这是Catalan数列(其实一看那个\(1,2,5,14,421,2,5,14,42\)就应该知道)

于是答案即为
\[
\frac{g_n}{f_n}=\frac{nf_{n-1}}{f_n}
\]
代入卡特兰数的通项公式
\[
f_n=\frac{\binom{2n}{n}}{n+1}
\]
很容易就得到上式等于
\[
\frac{n(n+1)}{2(2n-1)}.
\]

Code

double n;

int main()
{
    scanf("%lf",&n);
    printf("%.12lf\n",n*(n+1)/(2*(2*n-1)));
}

原文地址:https://www.cnblogs.com/Anverking/p/solution-lgp3978.html

时间: 2024-11-05 06:12:41

LG P3978 [TJOI2015]概率论的相关文章

并不对劲的bzoj4001:loj2105:p3978:[TJOI2015]概率论

题目大意 随机生成一棵\(n\)(n\leq10^9)个节点的有根二叉树,问叶子结点个数的期望. 题解 subtask 1:\(n\leq100\),70pts 结论:不同的\(n\)个节点的有根二叉树有\(\frac{C_{2\times n}^{n}}{n+1}\)(也就是卡特兰数)个. 设\(f(i)\)表示\(i\)个节点的有根二叉树期望有几个叶子结点. 计算\(f(i)\)时考虑除根以外\(i-1\)个节点哪些放左边,哪些放右边.\(\Theta(n^2)\). subtask 2:\

Luogu P3978 [TJOI2015]概率论

Link 设\(f_n\)表示\(n\)个点的不同构的二叉树个数,\(g_n\)表示\(n\)个点的不同构的二叉树的叶节点数之和. 可以得到\(g_n=nf_{n-1}\). 证:每棵\(n-1\)个点的二叉树有\(n\)个位置可以挂上一个叶节点进而得到\(n\)个点的二叉树. 我们知道\(f_n=C_n=\frac{2n\choose n}{n+1}\),因此\(ans=\frac{g_n}{f_n}=\frac{nf_{n-1}}{n}=\frac{2(n+1)}{4n-2}\). #inc

4001: [TJOI2015]概率论

4001: [TJOI2015]概率论 Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MBSubmit: 262  Solved: 108[Submit][Status][Discuss] Description Input 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 Output 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 Sample Input 1 Sample Output 1.000000000 HINT 1<=N<=10^9 Source 题解:首先给

BZOJ4001 [TJOI2015]概率论

Description Input 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 Output 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 Sample Input 1 Sample Output 1.000000000 HINT 1<=N<=10^9 题解 令$f_i$表示n个点无标号二叉树个数,那么枚举根的左子树的点数,可以得到 $$f_n = [n=0] + \sum_{i = 0}^{n - 1} f_if_{n-i-1}$$ (一眼看过去就是卡特兰数,但是现在暂时用不到) 再令$g_i

bzoj 4001 [TJOI2015]概率论 数学

4010: [HNOI2015]菜肴制作 Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 256 MB 题目连接 http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=4001 Description Input 输入一个正整数N,代表有根树的结点数 Output 输出这棵树期望的叶子节点数.要求误差小于1e-9 Sample Input 1 Sample Output 1.000000000 HINT 1<=N<=10^9 题意

BZOJ 4001 [TJOI2015]概率论 ——找规律

题目太神了,证明还需要用到生成函数. 鉴于自己太菜,直接抄别人的结果好了. #include <map> #include <cmath> #include <queue> #include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> using namespace std; #define F(i,j,k) for (int i

[TJOI2015]概率论[卡特兰数]

题意 \(n\) 个节点二叉树的叶子节点的期望个数. \(n\leq 10^9\) . 分析 实际询问可以转化为 \(n\) 个点的不同形态的二叉树的叶子节点总数. 定义 \(f_n\) 表示 \(n\) 个节点的二叉树的个数, \(g_n\) 表示 \(n\) 个节点的不同形态的二叉树的叶子节点总数. 设一棵 \(n\) 个节点的树有 \(m\) 个叶子节点,每删去一个叶子节点都可以得到一棵大小为 \(n-1\) 的二叉树,考虑每个大小为 \(n-1\) 的二叉树,共有 \(n\) 个叶子节点

[TJOI2015]概率论

[Luogu3978] 看这里 令\(f_n\)表示 \(n\) 个点的二叉树个数 , \(g_n\)表示 \(n\) 个点的所有 \(f_n\)棵二叉树的叶节点总数 \(g_n=nf_{n-1}\) 证明如下 : 对于每棵 \(n\) 个点的二叉树 , 如果里面有 \(k\) 个叶节点 , 那么我们分别把这 \(k\) 个叶子删去会得到 \(k\) 棵 \(n-1\) 个点的二叉树 ; 每棵 \(n-1\)个点的二叉树恰好有 \(n\) 个位置可以悬挂一个新的叶子 , 所以每棵 \(n-1\)

[TJOI2015] 概率论 - Catalan数

一棵随机生成的 \(n\) 个结点的有根二叉树(所有互相不同构的形态等概率出现)的叶子节点数的期望.\(n \leq 10^9\) Solution \(n\) 个点的二叉树个数即 Catalan 数 \(f(n)=\frac{C_{2n}^n}{n+1}\) 设 \(g(n)\) 为 \(n\) 个点的所有二叉树的叶子个数和,找规律得 \(g(n)=nf(n-1)\) Proof. 对于 \(n\) 个点,\(k\) 个叶子的二叉树,删掉任意一个叶子可以得到 \(k\) 个 \(n-1\) 个